大学数学

大学の微積分学は、高校数学を土台にしながら、さらに発展した内容を扱うため、高校で数学ⅡBや数学Ⅲを十分に学んでいない場合は難しく感じやすい分野です。特に逆三角関数やテイラーの公式などは、微分積分の基礎が前提となるため、いきなり理解しようとし...

数検1級を将来的に目指す場合、高校数学までとは大きく異なる大学数学の考え方を身につける必要があります。特に大学数学を初めて学ぶ段階では、いきなり難しい専門書や数検対策問題集に進むよりも、基礎概念を丁寧に理解できる参考書を選ぶことが重要です。...

複素数を含む積分では、単純に展開して計算するよりも、複素関数の性質や円周上での平均値を利用すると簡潔に解ける場合があります。今回は、|a|

三角関数を含む積分の中には、一見すると複雑に見えても、三角関数の性質や恒等式を利用することで簡単に計算できるものがあります。今回は、積分区間が0からπで与えられる「(sin nx / sin x)^2」の形を持つ積分について、考え方や解法の...

代数学の基本定理は「複素数の範囲では、次数が1以上の多項式は必ず少なくとも1つの解を持つ」という重要な定理です。この定理の証明方法について、直接証明なのか、間接証明なのか疑問に感じる人も多くいます。この記事では、代数学の基本定理で使われる代...

折り紙公理について調べていると「折り紙公理が完全であることを示した」という表現に出会うことがあります。この「完全」という言葉は、数学基礎論で使われる一階述語論理の完全性と同じ意味なのか、それとも別の意味なのか疑問に感じる人も多いでしょう。こ...

実解析やルベーグ積分を学ぼうとすると、「プリンストン解析学講義シリーズ 実解析」と「伊藤ルベーグ積分入門」は内容が重複しているのか、どちらから読むべきか迷う方も多いでしょう。どちらもルベーグ積分を扱う実解析の書籍ですが、目的や読者層、解説の...

微分法は数学の中だけで使われる難しい計算と思われがちですが、実際には身の回りのさまざまな変化を調べるために利用されています。例えば、車の速度の変化、スマートフォンの充電量、商品の売れ方などは、時間による変化を見ることで微分の考え方につながり...

大学数学の解析学では、ガウス関数を用いた熱方程式の解や積分変換について学ぶ機会があります。特に、F(t,x)=∫R P(t,x-y)f(y)dyのような形で定義される関数について、x方向に積分した値が元の関数fの積分と一致することを示す問題...

不定積分には、式の形を観察して適切な置換を行うことで解けるようになる問題があります。今回は「∫(1-x²)/(1+x²)・1/√(1+x⁴)dx」という積分について、どの部分に注目して変形すればよいのか、途中の考え方を含めて解説します。与え...