大学数学

高層ビルの近くを歩いていると、上から何かが落ちてくる可能性について不安を感じることがあります。特に、人や物が落下した場合にどの程度の範囲まで影響が及ぶのか気になる人もいるでしょう。しかし、落下する物体の位置や風、建物の形状、落下時の状況など...

位相空間論では、正則空間という条件から点と閉集合の分離性を導く議論が頻繁に登場します。特に「点xと閉集合Gが交わらないとき、互いに交わらない閉近傍で分離できる」という性質は、正則性を理解するうえで重要な結果です。この証明では、開近傍による分...

大学数学で扱われる「幾何学」は、高校までで学ぶ図形問題の延長だけを意味するものではありません。大学では、図形そのものだけでなく、空間の構造や形の性質を数学的に研究する幅広い分野として発展しています。そのため、「幾何学概論」と書かれた教科書で...

初等幾何学というと、三角形の合同条件や円の性質、角度の計算など、中学校や高校で学ぶ内容を思い浮かべる人が多いかもしれません。そのため「すでに研究し尽くされた古い分野なのではないか」と感じることがあります。しかし、初等幾何学は決して終わった数...

数学では「空間」という言葉がさまざまな場面で登場します。そのため、高校数学で扱う空間ベクトルと、大学数学で登場するベクトル空間は名前が似ていて混同しやすい概念です。しかし、この2つは扱っている対象や考え方が大きく異なります。空間ベクトルは主...

全微分方程式は、与えられた微分形式がある関数の全微分として表せるかどうかを確認し、可能であればその関数を求めることで一般解を導く問題です。この記事では、(x-y)dx+(2x^2y+x)dy+2x^2zdz=0 について、積分可能性の判定方...

全微分方程式は、3変数を含む微分形式が完全微分になる条件や、積分因子を利用して解を求める問題として大学数学で扱われます。ここでは、全微分方程式 yz(1+4xz)dx-zx(1+2xz)dy-xydz=0について、まず積分可能性を確認し、そ...

寝る前に「羊が1匹、羊が2匹……」と羊の数を数える習慣を、一度は耳にしたことがある人は多いでしょう。眠れない夜に行う不思議な儀式のように知られていますが、この行為には実際に名前があり、海外でも広く知られた睡眠に関する習慣です。この記事では、...

高校数学と大学数学を学んだ人の中には、「同じ数学なのに別の学問のように感じる」と思う人も少なくありません。高校数学では公式を使って答えを求める問題が多い一方で、大学数学では定義や証明、抽象的な概念を扱う場面が増えます。そのため、高校数学をパ...

無限級数では、各項を無限等比級数に展開したり、二重級数の和の順序を入れ替えたりする操作が頻繁に登場します。しかし、有限和の場合とは異なり、無限和では「式変形できそうだから」という理由だけで交換することはできません。特に複素数を含む級数では、...