大学数学

純粋数学の研究には、すぐに社会で役立つかどうかでは測れない価値があります。では、人間の研究者や数学者の判断を必要とせず、数学研究そのものの価値を自動的に評価するアルゴリズムは存在するのでしょうか。この記事では、純粋数学における研究価値の考え...

ベクトル空間を学び始めると、「和とスカラー倍が定義できる集合」という説明が出てきます。しかし、「定義できる」とは具体的に何を意味するのか、また集合が閉じていることと同じなのか疑問に感じる人も多いです。この記事では、高校数学で扱うベクトルのイ...

可換環論や代数幾何学を学んでいると、「コーエンマコーレー環の局所双対定理（local duality theorem）」という言葉に出会うことがあります。しかし、Wikipediaなどでは名前だけが紹介され、具体的に何を意味するのか分かりに...

数学の魅力は、ただ答えを求めることだけではありません。一見すると不可能に思える問題を、意外な発想や美しいアイデアによって解決する「証明」には、多くの人を驚かせる面白さがあります。この記事では、初等数学から大学数学まで、証明方法の発想が特に印...

数学における「優れた結果」とは何かを考えるとき、単に難しい問題を解いたかどうかだけではなく、問題の設定と解答の簡潔さ、そしてそこに含まれる情報量の関係が重要になります。特に、答えを「その問題を満たす解の中で最も短く記述できるもの」と考える視...

純粋数学の研究成果には、発表直後には誰にも引用されていないものや、応用先が見つかっていないものが数多くあります。そのため、引用数や論文数のような後から得られる指標を使わずに、未発表段階の研究価値を厳密に測定できる方法があるのかという疑問が生...

多様体の間の写像f: M→Nに対する微分dfと、微分形式に作用する外微分dは、記号が同じため混同されやすい概念です。しかし、この2つは役割が異なりながらも、微分幾何学において密接に関係しています。この記事では、写像の微分dfと外微分dがどの...

リーマン幾何学では、体積エントロピーのような無限遠での体積増大率が、局所的な曲率構造をどこまで制約できるのかという問題が重要なテーマになっています。特に Ricci 曲率の下限条件のもとで最大エントロピーを達成する場合、単なる体積比較の等号...

大学で初めて線形代数を学ぶ際、高校数学の履修状況によって難易度の感じ方は大きく変わります。特に高校数学を十分に学んでいない場合、行列やベクトルなど初めて触れる概念が多く、最初は戸惑うことがあります。しかし、必要な基礎を補いながら学習すれば、...

関数解析では、弱コンパクト性、弱点列コンパクト性、弱*コンパクト性、弱*点列コンパクト性という似た概念が登場します。しかし、弱位相と弱*位相では対象となる空間や位相の作り方が異なるため、同じように扱えない部分があります。本記事では、Bana...