大学数学

線形代数で座標軸の回転を扱うとき、多くの人が混乱するポイントがあります。それは「ベクトルを回転させているのか」「座標軸そのものを回転させているのか」という違いです。特にx=R(45°)Xという式を見ると、「Xを45度反時計回りに回せばxにな...

数学の世界では、何十年、何百年も解決されない問題が存在します。その中でもヤコビアン予想は、長期間にわたって多くの数学者が挑戦してきた有名な未解決問題の一つです。そのため「ヤコビアン予想の反例が見つかった」というニュースは、単なる一つの計算ミ...

コラッツ予想は、1930年代から研究され続けている有名な未解決問題の一つです。そのため、「コラッツ予想を証明した」とする論文やプレプリントが公開されると、大きな注目を集めます。一方で、研究者が公開したプレプリントが、そのまま学術雑誌に掲載さ...

代数学の基本定理とは、「次数が1以上の複素係数多項式は、必ず少なくとも1つの複素数の解を持つ」という数学の重要な定理です。高校数学では当たり前のように複素数を扱いますが、実はこの事実は簡単には証明できず、解析学や複素関数論を利用して初めて厳...

数学では、私たちが普段使っている整数や実数だけでなく、複素数、四元数、無限次元空間など、現実の直感を超えた数や空間が研究されています。そのため、高次元へ進むことで現在とは異なる数の体系が存在するのではないかという発想は、数学の歴史の中でも何...

数学には、単なる計算や証明を超えて、何百年もの間、多くの数学者を魅了してきた壮大な物語があります。フェルマーの最終定理が特別な存在として知られているのは、単に難しい問題だったからではなく、数世代にわたる数学者たちの挑戦、失敗、発見、そして最...

位相空間において、収束する点列の極限が一意であることは、解析学を考える上で重要な性質です。ハウスドルフ空間ではこの性質が必ず成り立ちますが、実はハウスドルフ性より弱い条件でも点列の極限の一意性を保証できる場合があります。この記事では、2つの...

複素行列による相似変換で、ある実行列が再び実行列になる条件を考える問題では、単なる計算だけでなく、行列の対称性や固有値、二次形式との関係を理解することが重要です。ここでは、Q^TQ=Η（Ηが対角成分-1,1,1,1を持つ行列）という条件を満...

往復運動をする2台の乗り物の出会い算は、速度や距離の関係を整理すると解くことができます。特に、最初に出会った地点から目的地までにかかった時間が与えられている問題では、速度比を求めることがポイントになります。この記事では、往復するバスの問題を...

数学科への外部大学院進学を考える場合、学部生がどのような順序で数学を学んでいるのかを知ることは重要です。数学科では高校数学の延長ではなく、大学数学として抽象的な理論を段階的に学びます。この記事では、数学科のB1（1年生）からB4（4年生）ま...