自然数における数字1の含まれる個数を求める問題：f(n+1) = 8f(n) + 9 * 10^(n-1)の証明

今回は、n桁の自然数に関する問題を解説します。特に、数字1を奇数回含む自然数の個数をf(n)として定義し、f(n+1) = 8f(n) + 9 * 10^(n-1)という式が成り立つことを示す問題に取り組みます。

問題の理解と定義

まず、問題を整理してみましょう。n桁の自然数が与えられたとき、その数に1が奇数回含まれる数の個数をf(n)と定義します。例えば、1桁の数であれば、f(1)は1を含む数（1）が1つだけです。

次に、f(n)という数を定義した上で、n+1桁の自然数における数字1の含まれる個数の関係式f(n+1) = 8f(n) + 9 * 10^(n-1)が成り立つことを証明することが求められています。

式f(n+1) = 8f(n) + 9 * 10^(n-1)の右辺を理解するために、まずf(n)とf(n+1)の定義を考えます。n桁の数字に対する計算方法と、n+1桁の数字における1の出現回数の関係を明確にすることが必要です。

n桁の数字に1が奇数回含まれる場合、n+1桁の数字にするためには、元のn桁の数の前に0〜9のいずれかの数字を加えることを考えます。その結果、1の出現回数がどのように変化するかを理解することで、式が成り立つ理由がわかります。

f(n+1)の計算において、n桁の数に1が奇数回含まれている場合、前に1を加えることで、1の出現回数に変化を与えます。この加え方を考慮し、次にその変化量を8f(n)と9 * 10^(n-1)に分けて説明します。

最初の8f(n)は、n桁の数における1が奇数回含まれている場合に関する規則的な増加を表しています。次に、9 * 10^(n-1)は、n+1桁における1の増加に関する補正項です。この補正項が、n桁の数に1が加わることによってどのように作用するかを計算することで、式が成立することが確認できます。

この問題では、自然数における1の出現回数の問題を解決するために、f(n+1)の式を理解し、その証明方法を学びました。式の成り立ちを理解するためには、数学的な定義をしっかりと把握し、具体的な計算方法をステップごとに進めることが重要です。