log₂x + log₂(2 - x) の最大値の求め方

この問題では、関数 log₂x + log₂(2 – x) の最大値を求める必要があります。解法を順を追って丁寧に解説しますので、しっかりと理解できるように進めていきましょう。

ステップ1: 定義域の確認

まず最初に、log₂x および log₂(2 – x) の定義域を確認しましょう。対数関数は、その引数が正である必要があります。そのため、x > 0 および 2 – x > 0 という条件を満たす必要があります。

これらの条件を満たすためには、x が (0, 2) の範囲にある必要があります。したがって、x は 0 < x < 2 の間でのみ定義されます。

次に、log₂x + log₂(2 – x) を一つの対数式にまとめることができます。対数の加法の公式を使うと、log₂x + log₂(2 – x) は log₂(x(2 – x)) に変換できます。

したがって、問題の式は log₂(x(2 – x)) となり、この式を最大化する方法を考えます。

次に、x(2 – x) の式を最大化するために、関数 f(x) = x(2 – x) を考えます。この関数は二次関数であり、y = -x² + 2x という形になります。

この二次関数は放物線で、頂点が最大値を示します。二次関数の最大値を求めるためには、頂点の x 座標を求める必要があります。頂点の x 座標は -b / 2a で求められ、ここでは a = -1, b = 2 ですので、x = 1 が頂点となります。

次に、x = 1 のときの f(x) の値を求めます。

f(1) = 1(2 – 1) = 1 です。したがって、x = 1 のとき、x(2 – x) の最大値は 1 です。

最終的に、log₂(x(2 – x)) の最大値は log₂(1) となります。

log₂(1) は 0 ですので、この関数の最大値は 0 です。

この問題では、log₂x + log₂(2 – x) の最大値を求めるために、まず定義域を確認し、次に関数を合成して最大値を求めました。最終的に最大値は 0 であることが分かりました。定義域や二次関数の最大化に関する基本的な考え方を理解することができる問題です。