今回の問題は、原点Oと点A(-1,2,3)、点B(-3,2,1)に対して線分ABを1:(1-t)に内分する点Pを求め、その時の|↑OP|（ベクトルOPの長さ）の最小値と実数tの値を求める問題です。
内分点の座標の求め方
まず、点Pの座標を求めるために、線分ABを1:(1-t)に内分する公式を使います。内分点Pの座標は、次のように求められます。
内分点Pの座標は、次の式で求められます。
P = ( (1-t)A + tB ) / (1)
ここで、点Aの座標は(-1, 2, 3)、点Bの座標は(-3, 2, 1)です。これを式に代入して、点Pの座標を求めます。
点Pの座標の具体的な計算
点A(-1, 2, 3)と点B(-3, 2, 1)の座標を使って、点Pの座標を計算します。
P = ((1-t)(-1, 2, 3) + t(-3, 2, 1)) / 1
= ((-1+t, 2, 3t) + (-3t, 2t, t))
= (-1+t-3t, 2+2t, 3t+t)
= (-1-2t, 2+2t, 4t)
ベクトルOPの長さの最小化
次に、ベクトルOPの長さを求めます。ベクトルOPは、原点Oから点Pへのベクトルなので、OPの座標はそのままPの座標になります。
ベクトルOP = (-1-2t, 2+2t, 4t) です。
ベクトルOPの長さ|↑OP|は、ベクトルOPの各成分の二乗を足して平方根を取ることで求めます。
|↑OP| = √((-1-2t)² + (2+2t)² + (4t)²)
= √((1 + 4t + 4t²) + (4 + 8t + 4t²) + 16t²)
= √(5 + 12t + 24t²)
長さを最小化するためのtの値
この長さを最小化するためには、式5 + 12t + 24t²を最小化すれば良いので、微分を使って最小値を求めます。
d/dt(5 + 12t + 24t²) = 12 + 48t
これを0にしてtを求めます。
12 + 48t = 0
t = -1/4
最小値の確認
t = -1/4のとき、長さ|↑OP|は最小になります。実際にt = -1/4を代入して長さを計算すれば、最小の長さが得られます。
このように、t = -1/4で最小値を達成することが確認できました。
まとめ
この問題では、点Pの座標を求めるために内分点の公式を使い、その後ベクトルOPの長さを求めました。微分を使って最小値を求め、最小値を達成する実数tの値は-1/4であることがわかりました。このような方法で問題を解くことができます。
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