この問題は、pを奇素数とする整数の組(a_1, a_2, …, a_p)がgoodである条件を満たす場合の数を求めるものです。問題文では、goodな組の条件として3つの性質が与えられていますが、この問題を解くための鍵となるのは、与えられた条件をどのように考察するかです。ここではその解法を順を追って説明します。
1. goodな整数の組とは
まず、goodな整数の組が満たすべき条件は以下の3つです。
- すべてのi = 1, 2, …, pで、1 <= a_i < p が成り立つ
- a_1 + a_2 + … + a_pはpで割り切れない
- a_1a_2 + a_2a_3 + … + a_{p-1}a_p + a_pa_1 はpで割り切れる
これらの条件をもとに、整数の組(a_1, a_2, …, a_p)を求めていく必要があります。
2. 組の変形を考える
問題の解法のヒントは、式の変形にあります。特に重要なのは、式の中でa_1 + c, a_2 + c, …, a_p + cという形に変形することです。この変形を行うことで、与えられた整数の組を全て調べることができます。
ここでは、cを1以上p-1以下の範囲で動かすことで、A_0, A_1, …, A_{p-1}という集合が得られ、それぞれの要素に対応する組を求めることができるのです。
3. 余りの対応を考える
次に、各組がpで割った余りがrとなるような集合A_rを考えます。これにより、A_0の要素と他のA_r（r = 1, 2, …, p-1）の要素との対応を調べることができます。要素が対応する関係を求めることで、組の数を求めることができます。
4. 組の数を求める
最終的に、集合A_0の要素数が|A_0|、集合A_1の要素数が|A_1|であることがわかります。そして、|A_0|は|A_1| = … = |A_{p-1}|という関係を持っているため、最終的に求める組の数は以下のように計算できます。
|A_0| = p^{p-2}(p-1)
5. まとめ
この問題を解くには、組の変形を利用し、余りの対応を考えた上で最終的な組の数を求める方法を採用します。この考え方により、|A_0|の値を求めることができ、答えは
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