円の接線と接円の問題解説

この問題では、円の方程式からその中心と半径を求め、さらに外接円とその接線の方程式を導出する問題です。特に、(3)の接線の方程式を求める部分でつまずいた方のために、順を追って解説します。

1. 問題文の整理

与えられた方程式は、円C：x² + y² – 2x – 8y + 13 = 0です。この式を円の標準形に変換して、円の中心と半径を求めます。

まず、円Cの方程式を完了平方を使って標準形にします。円の方程式は次のように変形できます。

x² + y² – 2x – 8y + 13 = 0 → (x – 1)² + (y – 4)² = 2

ここから、円の中心は(1, 4)、半径は√2であることがわかります。

次に、点(4, 0)を中心とする円C’とCが外接する条件を考えます。円Cと円C’が外接する場合、円の中心間の距離は両方の半径の和に等しくなります。計算を行い、C’の半径が求まります。

円CとC’が接する点Aで、Cの接線lの方程式を求めます。接点Aでは、Cの半径と接線が直角に交わります。このため、接線の方程式を求めるために、点Aの座標と接点における接線の傾きを計算し、方程式を求めます。

この問題は、円の標準形への変換、外接円の求め方、接線の方程式の導出といった複数の幾何学的な手法を組み合わせて解く問題です。ステップごとに整理して計算を行うことで、解法にたどり着くことができます。