二変数関数の最大最小を求める際に判別式を使う場面とその違い

二変数関数の最大最小問題を解く際に、判別式を使うかどうかの判断に困ることがあります。判別式を使う場合と使わない場合の違い、そしてどのような場面で判別式を利用するのかについて、この記事で詳しく解説します。

二変数関数の最大最小問題の基本的な解法

二変数関数の最大最小を求めるためには、まず関数の偏微分を計算し、偏微分方程式を解くことで臨界点を求めます。その後、得られた臨界点が最大値か最小値かを判定するために、さらに検討が必要です。

臨界点を求める手順自体は共通していますが、その後の判断において判別式が役立ちます。判別式を使用することで、臨界点が極大、極小、または鞍点かを判断することができます。

判別式（D）は、二変数関数の二階偏微分を用いて計算される値です。具体的には、以下のように定義されます。

D = fxx * fyy – (fxy)²

ここで、fxx、fyy、fxyはそれぞれ二変数関数f(x, y)の二階偏微分です。判別式Dを使うことで、臨界点が極大、極小、または鞍点であるかを次のように判定します。

判別式を使うのは、臨界点が最大値や最小値であるかどうかを厳密に判断したい場合です。特に、関数が凸または凹の形をしている場合や、複雑な関数の最大最小を求める際に、判別式が有効です。

しかし、判別式を使うのが必ずしも必要というわけではありません。例えば、関数が簡単でグラフを描くことで直感的に最大最小を把握できる場合や、条件が明確でない場合には、判別式を使わなくても問題が解けることもあります。

判別式を使うべき場面は、次のような場合です。

このような場合に判別式を使うことで、迅速かつ正確に最大最小を求めることができます。

二変数関数の最大最小を求める際に判別式を使う場合と使わない場合の違いは、関数の複雑さや臨界点の数に依存します。判別式は、臨界点が極大、極小、鞍点かを判断する強力なツールです。関数が複雑な場合や、直感的に最大最小を判断するのが難しい場合には、判別式を使うことで解法がスムーズに進みます。