多項式の余りの求め方とその特性

今回は、多項式Pを使った問題の解法について解説します。この問題では、(x+1)^2 と (x-1)^2 で割った余りに関する情報をもとに、(x+1)^2 × (x-1)^2 で割った余りを求める方法について説明します。

1. 問題の整理

問題では、次の条件が与えられています。

また、このDを(x+1)^2と(x-1)^2で割った余りもそれぞれ9と1になることが求められています。

まず、(x+1)^2で割った余りが9であるということは、P(x) = (x+1)^2 Q(x) + 9という形に表せることを意味します。ここで、Q(x)はP(x)を(x+1)^2で割った商です。

同様に、(x-1)^2で割った余りが1であるということは、P(x) = (x-1)^2 R(x) + 1という形に表せます。ここで、R(x)はP(x)を(x-1)^2で割った商です。

次に、D = (x+1)^2 × (x-1)^2 で割った余りを求めます。この余りを計算するためには、まず(x+1)^2 × (x-1)^2がどのようにP(x)と関連するかを考えます。

上記の余りの関係を使って、P(x)が(x+1)^2と(x-1)^2で割った余りがそれぞれ9と1であることから、Dの値が自然に9と1を満たすことが分かります。なぜなら、P(x)の余りが(x+1)^2と(x-1)^2に関して特定の値を取るため、その積に関連する余りも一致するからです。

余りが9と1に一致する理由は、(x+1)^2と(x-1)^2で割った余りの特性から来ています。具体的には、(x+1)^2 × (x-1)^2で割ると、(x+1)^2での余りと(x-1)^2での余りがそれぞれ独立して考えられ、最終的に一致するためです。

このように、多項式の余りに関する情報を組み合わせて、別の多項式での余りを求めることができます。

この問題を解くためには、まず余りの性質を正しく理解し、与えられた条件を基に多項式の形式を整理することが大切です。最終的にDの余りが9と1で一致する理由は、余りの独立性に基づいた計算の結果であることがわかります。