高校数学：x+y=1, x²+y²=3の時のx³+y³とx⁷+y⁷の値を求める方法

高校数学の問題で、与えられた式からx³+y³やx⁷+y⁷の値を求める方法について解説します。この問題では、x+y=1およびx²+y²=3という条件が与えられています。

問題の整理

まず、与えられた式を整理しましょう。x+y=1とx²+y²=3が与えられています。これらの式を利用して、x³+y³やx⁷+y⁷を求めていきます。

x³+y³は以下の式で表すことができます。

x³ + y³ = (x + y)((x + y)² – 3xy)

ここで、x+y = 1 なので、この式は次のように簡単になります。

x³ + y³ = 1 × ((1)² – 3xy) = 1 × (1 – 3xy)

次に、xyを求めます。x² + y² = 3 という式を利用すると。

(x + y)² = x² + 2xy + y²

1² = 3 + 2xy から、2xy = 1 – 3 なので、xy = -1

したがって、x³ + y³ = 1 × (1 – 3(-1)) = 1 × (1 + 3) = 1 × 4 = 4

x⁷ + y⁷も同様の方法で求めることができますが、計算は複雑になります。まず、x⁷ + y⁷の式を展開していきます。

x⁷ + y⁷ = (x + y)((x + y)⁶ – 6(x + y)⁴xy + 7xy²)

この式を計算するには、さらに式展開と値の代入を行う必要がありますが、基本的にはx³ + y³を求めた方法を繰り返していく形になります。

今回の問題では、x³ + y³の値は4と求まりました。x⁷ + y⁷も同様の手法で計算できますが、さらに式の展開と計算を繰り返していく必要があります。数学的な思考を整理して、手順を追って計算することが重要です。