この問題は、与えられた直線に沿って線積分を求めるというものです。具体的には、関数f = x² + y³の線積分を求める問題で、直線はy = 2x, z = 0という条件のもとで進行します。まずは問題の前提と、どのように線積分を行うかについて詳しく解説します。
1. 問題の理解
問題では、原点Oから点A(2, 4, 0)にいたる直線に沿って、関数f = x² + y³の線積分を求める必要があります。直線の方程式はy = 2x, z = 0です。
2. 直線のパラメータ化
直線上の任意の点は、xとyをパラメータとして表すことができます。直線y = 2xなので、y = 2xという式を使ってyの値を求めることができます。zは常に0です。よって、直線上の点を次のようにパラメータ化できます。
r(t) = (t, 2t, 0), t ∈ [0, 2]
ここで、tは0から2までの範囲で変化し、t = 0のときが原点O(0, 0, 0)、t = 2のときが点A(2, 4, 0)です。
3. 線積分の計算
線積分を計算するためには、次の式を使います。
∫C f(x, y, z) ds
ここで、Cは直線、f(x, y, z) = x² + y³、dsは直線に沿った微小な長さを示します。直線のパラメータ化を使うと、dsは次のように表せます。
ds = √(dx² + dy² + dz²) = √(1 + 4) dt = √5 dt
したがって、線積分は次のように計算できます。
∫C (x² + y³) √5 dt
この式にパラメータr(t)を代入すると、x = t、y = 2t、z = 0なので、次のようになります。
∫[0, 2] (t² + (2t)³) √5 dt
4. 積分の評価
積分を計算すると。
∫[0, 2] (t² + 8t³) √5 dt
この積分を計算すると、最終的に線積分の値が得られます。
5. 結論
この問題は、直線のパラメータ化と線積分の基本的な知識を使って解くことができます。線積分の計算を通じて、問題に対する解法を理解することができるでしょう。
コメント