極限の問題：数列の極限lim[n→∞]2^n√(2-an)の解法

この問題では、数列anが与えられており、その極限を求める問題です。具体的には、数列anはa1=0, a(n+1)=√(an+2)で与えられており、lim[n→∞]2^n√(2-an)を求めるという問題です。今回は、この問題を解くためのアプローチと解説を行います。

1. 数列anの極限について

まず最初に、与えられた数列の挙動を理解することが重要です。数列anが収束する値を仮定して、それに基づいて問題を解いていきます。

数列anは再帰的に定義されています。a(n+1) = √(an + 2)という関係を利用して、数列anが収束する限界値を求めます。仮定として、数列が収束する値Lがあると仮定し、a(n+1)とanの両方がLに収束することを考えます。

収束値Lを求めるために、数列の式をLに代入し、方程式を解きます。具体的には、L = √(L + 2)という式を得ることができ、これを解くことでL = 2が得られます。

次に、問題の本題であるlim[n→∞]2^n√(2-an)を解きます。anが2に収束することを知っているので、2-anが0に近づく様子を考えます。この差を適切に表現し、数列が収束する様子を数式で追っていきます。

最終的に、問題の極限lim[n→∞]2^n√(2-an)の値を計算することができ、求める結果が得られます。具体的な計算過程を丁寧に追うことで、この問題を解決することが可能です。