絶対値の不等式の解法: |x-4| > -1 と |x-4| < -1 の理解

絶対値の不等式は、数学の問題でよく出題される内容ですが、最初は少し理解しにくいことがあります。特に、「|x-4| > -1」と「|x-4| < -1」のような不等式は、絶対値の性質を理解していないと解きにくいです。この記事では、この2つの不等式をどのように解いていくか、詳しく解説します。

絶対値の基本的な性質

絶対値は、数直線上での数の「距離」を示します。例えば、|x-4|は「x」と4との距離を意味します。絶対値の重要な性質として、絶対値の中身がゼロ以上の値になることが挙げられます。すなわち、|x-4|は必ず0以上の値を取ります。

この性質が、不等式を解く際に重要なポイントとなります。特に「|x-4| > -1」のような不等式においては、絶対値が0以上であるため、負の値（-1）を比較することができません。

「|x-4| > -1」という不等式を解くには、まず絶対値の性質を理解しましょう。絶対値の値は常に0以上であり、-1より小さいことはありません。したがって、この不等式はどんな実数 x に対しても成り立ちます。

具体的に言うと、「|x-4| > -1」という不等式は、「x」に関係なく、すべての実数で解が成立するため、解は「すべての実数」となります。

次に、「|x-4| < -1」という不等式を解いてみましょう。この不等式も、絶対値の性質を考えると解がないことが分かります。絶対値の中身が負の値（-1）より小さいことはあり得ないため、この不等式は解が存在しません。

したがって、「|x-4| < -1」の解は「解なし」となります。どんな実数 x に対しても、この不等式は成り立たないことになります。

絶対値の不等式では、絶対値の性質に基づいて解を進めることが重要です。「|x-4| > -1」という不等式はすべての実数で解が成立しますが、「|x-4| < -1」という不等式は解がありません。絶対値が常に0以上であることを念頭に置くことで、こうした不等式を正しく解くことができます。