三点を通る円の方程式の求め方とその中心・半径の計算方法

この記事では、数学Ⅱの「図形と式」の単元から、三点(1,2)、(-2,-1)、(-3,0)を通る円の方程式を求め、その中心と半径を求める方法について解説します。

問題の確認

まず、問題では三点(1,2)、(-2,-1)、(-3,0)が与えられています。これらの点を通る円の方程式を求め、その円の中心と半径も求めなければなりません。円の方程式は一般的に次の形で表されます。

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

この問題を解くためには、3点の座標を用いて円の方程式を求める必要があります。まずは、各点を円の方程式に代入して、D、E、Fの値を求めます。

1. (1, 2)の点を代入すると、以下の式が得られます。

1² + 2² + D(1) + E(2) + F = 0

2. (-2, -1)の点を代入すると、以下の式が得られます。

(-2)² + (-1)² + D(-2) + E(-1) + F = 0

3. (-3, 0)の点を代入すると、以下の式が得られます。

(-3)² + 0² + D(-3) + E(0) + F = 0

上記の3つの方程式を連立させて、D、E、Fの値を求めます。その後、円の方程式が求まります。

円の方程式が求まったら、円の中心と半径を求めることができます。円の中心は、円の方程式におけるxの係数D、yの係数Eを用いて求めます。中心の座標は(-D/2, -E/2)となります。また、半径は円の方程式からFを求めて、r = √((D/2)² + (E/2)² – F)で計算できます。

三点を通る円の方程式を求めるには、まず各点の座標を円の方程式に代入し、得られた連立方程式を解くことでD、E、Fを求めます。その後、円の中心と半径を計算することができます。実際に計算を行いながら進めることで、円の方程式を確実に求めることができるようになります。