3×9^(x)-28×3^(x)+9>0の解法と計算過程の解説

この記事では、数学の問題「3×9^(x)-28×3^(x)+9>0」の解法を解説します。途中の計算式も詳しく説明しますので、どのように解いたかを順を追って確認しましょう。

1. 問題の整理と式の変形

まず、問題文を確認します：3×9^(x)-28×3^(x)+9>0です。この式の中で、9^(x)は3のべき乗であるため、9^(x) = (3^2)^(x) = 3^(2x) となります。これを使って式を簡単にしていきます。

式を変形すると、次のようになります。

3×3^(2x) – 28×3^(x) + 9 > 0

ここで、新しい変数を使って簡略化することが有効です。3^(x) を t とおくと、t^2 = 3^(2x) となります。すると、式は次のようになります。

3t^2 – 28t + 9 > 0

この式はtに関する2次方程式です。これを解くために、まず解の公式を使って解きます。2次方程式の解の公式は、次のようになります。

t = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

ここで、a = 3、b = -28、c = 9です。この値を代入すると。

t = (28 ± √((-28)^2 – 4×3×9)) / (2×3)

t = (28 ± √(784 – 108)) / 6

t = (28 ± √676) / 6

t = (28 ± 26) / 6

これにより、tの解は2つ得られます。

t = (28 + 26) / 6 = 54 / 6 = 9

t = (28 – 26) / 6 = 2 / 6 = 1/3

t = 3^(x) ですので、tの解を3^(x)に戻してxの値を求めます。

最初に、t = 9のとき。

3^(x) = 9 となり、x = 2です。

次に、t = 1/3のとき。

3^(x) = 1/3 となり、x = -1です。

xの解は、x = 2 および x = -1 です。問題は、xの最大値を求めるものでしたので、最大値はx = 2です。

したがって、与えられた不等式「3×9^(x)-28×3^(x)+9>0」の解は、xが2のとき最大値となります。

この問題を解くためには、まず式を適切に変形し、2次方程式に帰着させました。その後、解の公式を使い、t = 3^(x) に戻して解を求めました。結果として、x = 2が最大値であることがわかりました。

このように、問題を整理し、順を追って計算していくことで、複雑に見える式でも解くことができます。