連続関数と微分可能性に関する問題：f'(b)=0を示す方法

この問題は、連続関数f(x)がx ≥ aで連続であり、x > aで微分可能であるという条件のもとで、lim x→∞ f(x) = f(a) ならば、あるb > aについてf'(b) = 0となるbが存在することを示す問題です。この問題の解法を段階的に解説します。

問題の設定

与えられた条件は以下の通りです。

これらの条件を使って、b > aを満たすbが存在し、f'(b) = 0であることを示す必要があります。

この問題は、ロールの定理を使用することが有効です。ロールの定理によれば、関数f(x)が区間[a, b]で連続で、区間(a, b)で微分可能で、f(a) = f(b)であれば、区間(a, b)内にf'(c) = 0となるcが少なくとも一つ存在します。

ここで重要なのは、lim x→∞ f(x) = f(a)という条件です。この条件を利用することで、無限遠での関数の振る舞いがf(a)に収束するため、f(a)と一致する点を見つけることができます。

1. 関数f(x)はx ≥ aで連続、x > aで微分可能なので、f(x)の連続性と微分可能性が保証されます。

2. lim x→∞ f(x) = f(a)という条件から、f(x)が∞でf(a)に収束することが分かります。

3. ここで、f(a) = f(b)と考えると、区間[a, b]においてf'(c) = 0となる点cが存在することがロールの定理により保証されます。

f'(b) = 0となるb > aを満たす点が存在することを示すためには、ロールの定理を適用するのが有効です。与えられた条件を満たす範囲で、関数が一定の振る舞いを示すことを確認し、f'(b) = 0となるbを導出することができました。