2直線の交点の軌跡と計算の分け方

この質問は、2直線の交点Pの軌跡を求める問題で、特にy=0の場合とy≠0の場合に分けて計算を行う理由についての理解を深めるためのものです。

1. 問題の整理と直線の式

与えられた2つの直線は、kx + 2y + 2k = 0と、2x – ky = 0です。これらの直線の交点Pを求め、その軌跡を求めます。最初に、この2つの式を連立方程式として解く必要があります。

まず、1つ目の式をyについて解きます。kx + 2y + 2k = 0をyについて解くと、y = -(kx + 2k)/2 となります。このyの値を2番目の式2x – ky = 0に代入してxを求め、さらにそのxを使ってyを求めます。これで交点Pの座標が得られます。

y≠0のときとy=0のときに分けて計算を行う理由は、y=0の場合が特別な場合であるためです。y=0の場合、直線がx軸と交わるので、y≠0のときとは異なる性質を持ちます。y≠0の場合は、通常の座標計算を行うことができますが、y=0の場合は直線の交点が原点に近づくため、別途注意が必要です。

計算を進めると、得られる軌跡は円の方程式(x+1)^2 + y^2 = 1となります。ただし、点(-2, 0)は除外されます。この点は、y=0の場合の特異点にあたります。

2直線の交点Pの軌跡を求めるためには、y≠0の場合とy=0の場合で計算を分けることが重要です。y=0の場合は特異点となり、直線がx軸に接近するため別の注意が必要となります。最終的に得られる軌跡は円となり、点(-2, 0)を除外することが求められます。