高1の数学で出てくる関数の最大値や最小値を求める問題について解説します。具体的な問題に基づいて、どのように計算していくのかをステップバイステップで見ていきます。
①問題の解法：最大値を求める
問題：「aは定数とする。関数y=-x²+2ax-4a+1 (-1≦x≦2)の最大値を求めよ。」
まず、この関数は2次関数の形です。2次関数の最大値や最小値は、頂点の位置によって決まります。まずは、x²の項の係数が負であるため、この関数は上に凸の放物線です。頂点のx座標は、一般的にx = -b/2aで求めることができます。この式を使って頂点を求め、その位置でのyの値を最大値として求めましょう。
次に、x = -b/2aの形に当てはめて計算します。y = -x² + 2ax – 4a + 1の形から、xの係数とaの関係を求めて頂点を計算し、その点でのyの値を求めます。
②問題の解法：最小値と最大値を求める
問題：「aは定数とする。関数y=-x²-2x-1 (0≦x≦a)について，次の問いに答えよ。(1)最小値を求めよ。(2)最大値を求めよ。」
この問題も2次関数です。まず、y = -x² – 2x – 1という式を見たとき、x²の項が負なので、上に凸の放物線です。最小値を求めるためには、この関数が0≦x≦aの範囲でどのように変化するかを考えます。
最小値は放物線の頂点か、xの範囲の端点で求めることができます。x = -b/2aを使って頂点を求め、x=0とx=aでのyの値も計算して、最小値と最大値を求めましょう。
最大値と最小値の計算手順のまとめ
2次関数の最大値や最小値を求める手順は、まず関数の形を確認し、次に頂点を求める式（x = -b/2a）を使って頂点を求めます。その後、範囲内での値を計算して、最大値や最小値を求めます。頂点でのyの値を計算し、端点での値と比較することが重要です。
これらの手順をしっかりと身につけて、さまざまな関数の問題に対応できるようにしましょう。2次関数の理解を深めるために、練習問題を解いてみることをお勧めします。
練習問題
- y = 2x² + 4x – 1の最大値と最小値を求めよ（範囲：-2 ≦ x ≦ 3）
- y = -3x² + 6x + 5の最小値と最大値を求めよ（範囲：0 ≦ x ≦ 4）
これらの練習問題に取り組んで、2次関数の最大値・最小値を求めるスキルをさらに磨いてください。
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