この質問では、物体の位置が時間の関数として与えられた場合、0秒から2秒の間で物体が運動する軌道の長さを求める問題です。具体的には、物体の位置がx=-5(m)、y(t)=3t-t^2(m)で与えられています。物体の運動軌道の長さは、微積分を用いて求めることができます。
1. 物体の位置の関数
物体の位置は、x軸方向とy軸方向の座標で表されます。x座標は常に-5mで固定されており、y座標は時間tの関数として与えられています。
y(t) = 3t – t² という式で、物体のy軸方向の位置が時間に対してどのように変化するかを示しています。
2. 軌道の長さを求める式
物体の運動軌道の長さを求めるためには、物体の位置が時間に従ってどれだけ変化したかを積分によって求める必要があります。運動軌道の長さは次の式で求められます。
L = ∫(√( (dx/dt)² + (dy/dt)² ) ) dt
ここで、dx/dtはx方向の速度、dy/dtはy方向の速度です。x方向の速度は一定で-5なので、dx/dt=0です。
3. y(t)の微分
次に、y(t) = 3t – t² を微分して、dy/dtを求めます。
dy/dt = d/dt(3t – t²) = 3 – 2t
これを用いて、運動軌道の長さを計算するための積分式に代入します。
4. 積分の計算
dx/dtは0なので、式は次のように簡単になります。
L = ∫(√((0)² + (3 – 2t)²)) dt = ∫(3 – 2t) dt
積分の範囲はt=0からt=2までです。これを計算すると。
L = [3t – t²] from t=0 to t=2
L = (3(2) – (2)²) – (3(0) – (0)²) = 6 – 4 = 2m
5. 結論
したがって、物体が0秒から2秒の間に運動する軌道の長さは2メートルです。
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