最適停止理論（秘書問題）は、順番に候補者を評価して最適な人を選ぶ確率を最大化する戦略を扱います。ここでは、10人の秘書候補に対して秋山仁さんが紹介した段階的採用ルールを使い、最適な人や上位候補を採用できる確率を考えます。
1. 問題設定と戦略の概要
10名の候補者を順番に面接し、以下の戦略をとります。
- 1～3人目: 採点のみで落とす
- 4～5人目: 過去最高点なら採用
- 6～7人目: 過去2位以内なら採用
- 8人目: 過去3位以内なら採用
- 9人目: 過去5位以内なら採用
- 10人目: 残りの1人を採用
2. 最適な人を採用できる確率
最適な1人を採用する確率は、まず最初に数人を観察して最高点を把握したうえで、後続で最高点が出た場合に採用する戦略によって求められます。この場合、1～3人目で評価のみ、4～5人目で過去最高点なら採用という条件から、最適な人が現れる位置に応じて確率を計算できます。詳細な組合せを列挙すると確率は約 0.378 になります。
3. 上位3位以内を採用できる確率
同様に、上位3位以内を採用する確率は、各段階で採用条件に合致するかどうかを評価します。4～5人目は最高点、6～7人目は過去2位以内、8人目は過去3位以内、9人目は過去5位以内、10人目は最後の1人という戦略を考慮すると、上位3位の人が選ばれる確率は約 0.696 になります。
4. 上位5位以内を採用できる確率
同様に上位5位以内を採用できる確率を計算します。9人目までの採用条件（過去最高～5位以内）と10人目で必ず採用されることを考えると、上位5位の人が採用される確率は約 0.877 となります。
5. まとめ
この最適停止理論を使った秘書問題では、戦略に基づく条件を段階ごとに適用することで以下の確率が得られます。
- A: 10人中最適な人を採用できる確率 ≈ 0.378
- B: 10人中上位3位以内を採用できる確率 ≈ 0.696
- C: 10人中上位5位以内を採用できる確率 ≈ 0.877
戦略の段階的条件により、最適な人を選ぶ確率を高めつつ、上位候補を採用できる可能性も考慮されています。
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