増減表を使った問題を解くとき、プラスマイナスの判断がしばしば必要になります。代入して計算する方法もありますが、時間がかかることもあります。ここでは、効率的にプラスマイナスの符号を判断する方法について詳しく解説します。
増減表とは？
増減表は、関数の増減を表すために使用する表で、主に微分を利用して関数が増加しているのか減少しているのかを判別します。増減表を使うと、関数のグラフを視覚的に理解しやすくなります。関数の導関数の符号を調べて、関数の増減を確認します。
プラスマイナスの判断方法
増減表でのプラスマイナスの符号を判断するためには、関数の導関数を利用します。まず、導関数が0になる点を求め、その点を区切りとして区間ごとに符号を調べます。
具体的には、導関数が正の値をとる区間では関数は増加し、導関数が負の値をとる区間では関数は減少します。このプラスマイナスの符号を効率的に求めるためには、導関数の符号をサインチャートを使って区間ごとに視覚的に整理すると良いでしょう。
簡単に導出する方法
質問者が述べたように、先生が「パッと、一瞬で導出できる」というのは、符号の変化を直感的に把握しているためです。効率的な方法としては、符号の変化をサインチャートで整理することが挙げられます。
サインチャートでは、導関数が0になる点をマークして、その両側の区間で導関数が正か負かを確認します。この方法は計算が少なく、直感的に符号の変化を捉えることができます。
具体的な例
例えば、関数 f(x) = x³ – 3x² + 2 の増減表を考えてみましょう。まず、f'(x) を求め、f'(x) = 3x² – 6x となります。次に、この導関数が0になる点を求めます。f'(x) = 0 の解は x = 0, 2 です。
これらの点で区切り、区間ごとにサインチャートを使って符号を確認します。x < 0 では導関数が正、0 < x < 2 では負、x > 2 では正であることが分かり、これを増減表にまとめます。このようにして、増減表を効率的に作成できます。
まとめ
増減表のプラスマイナスの符号を効率的に求める方法としては、導関数のサインチャートを使う方法が最も直感的で素早く結果を得られます。導関数を求め、その符号を区間ごとに確認することで、問題の解法がスムーズに進みます。また、サインチャートを使えば、計算ミスを減らし、符号の変化を一目で把握できるため、時間の短縮にも繋がります。
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