a³ – b³ – c³ – 3abc の因数分解の解法

この問題では、式a³ – b³ – c³ – 3abcを因数分解する方法について解説します。質問者が示している通り、公式を使わずにこの式を因数分解する方法を理解することが大切です。この記事ではその解法を分かりやすく説明します。

問題の整理

与えられた式は次の通りです。

a³ – b³ – c³ – 3abc

まず、この式を整理して考えます。この式は、立方数の引き算と積の項が含まれているので、因数分解を行うために特別なアプローチが必要です。

因数分解の公式を使わずに解く方法

問題で求められているのは、式を因数分解する方法です。まず、式を次のようにグループ化します。

(a³ – b³) – (c³ + 3abc)

次に、それぞれの部分を因数分解します。a³ – b³ は立方数の差の公式を使って因数分解できます。

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

そして、c³ + 3abc の部分は、次のように整理できます。

c³ + 3abc = c(a² + ab + b²)

これらを元の式に代入すると。

(a – b)(a² + ab + b²) – c(a² + ab + b²)

となり、共通因子 (a² + ab + b²) を取り出すことができます。

(a² + ab + b²)(a – b – c)

因数分解の結果

したがって、a³ – b³ – c³ – 3abc は次のように因数分解できます。

(a² + ab + b²)(a – b – c)

まとめ

この問題を解くためには、式の構造を見極めて、適切な因数分解のステップを踏むことが重要です。a³ – b³ – c³ – 3abc の式は、立方数の差と積の項をうまくグループ化し、因数分解することができます。最終的に、式は (a² + ab + b²)(a – b – c) の形に因数分解されることがわかりました。