微分係数の計算方法とその理由：具体的な例を用いて解説

微分係数の計算方法を理解することは、数学において非常に重要です。ここでは、二つの異なる関数の微分係数を計算し、その理由について解説します。

問題の整理

最初に、与えられた関数とその微分係数の計算を行います。

この関数において、x = 3 のときの微分係数が −13/9 である理由について見ていきます。まず、y = (2x – 3)/(x + 5) の微分を求めるために、商の微分法則を使用します。

商の微分法則は次のように表されます。

f'(x) = (g'(x)h(x) – g(x)h'(x)) / (h(x))^2

ここで、g(x) = 2x – 3、h(x) = x + 5 とし、それぞれの微分を求めます。

g'(x) = 2、h'(x) = 1 です。これらを代入して微分を行うと、次のように計算できます。

y'(x) = ((2)(x + 5) – (2x – 3)(1)) / (x + 5)^2

y'(x) = (2x + 10 – 2x + 3) / (x + 5)^2

y'(x) = 13 / (x + 5)^2

ここで、x = 3 を代入すると、微分係数は −13 / 9 となります。

次に、y = e^(4x + 2) の関数における、x = 2 の時の微分係数について考えます。

この場合、e^(4x + 2) の微分を求めるためには、指数関数の微分を使用します。指数関数の微分の公式は次の通りです。

d/dx [e^(u(x))] = e^(u(x)) * u'(x)

ここで、u(x) = 4x + 2 ですので、u'(x) = 4 となります。したがって、微分係数は次のようになります。

y'(x) = e^(4x + 2) * 4

x = 2 を代入すると、微分係数は 4e^(10) になります。

1つ目の問題では、商の微分法則を適用した結果、分子と分母の計算により微分係数が −13 / 9 となり、問題の解答に繋がります。2つ目の問題では、指数関数の微分法則を適用して、x = 2 のときに微分係数が 4e^(10) であることが分かります。

微分係数の計算方法について、商の微分法則や指数関数の微分法則を適切に使用することが大切です。これらの法則を理解することで、さまざまな関数の微分係数を計算する際に役立ちます。