不等式の表す領域を図示する問題では、まず不等式を直線の式に変形し、その直線を境界としてどちら側の範囲を表すのかを判断することが重要です。
今回は「2x-3y+6≧0」という不等式を例に、座標平面上でどのような領域になるのか、途中式を含めてわかりやすく解説します。
不等式の領域問題は、手順を覚えることでさまざまな問題に応用できます。
不等式2x-3y+6≧0を直線の式に変形する
まず、境界となる直線を求めます。不等式では「≧」の部分を「＝」に置き換えることで、境界線を表す式になります。
つまり、
2x-3y+6＝0
という直線を考えます。
この式をyについて解くと、
2x-3y+6＝0
-3y=-2x-6
y=(2/3)x+2
となります。
したがって、境界線は傾きが2/3、切片が2の直線です。
境界線を座標平面に書く方法
直線を描くためには、2つの点を求めると簡単です。代表的な方法は、x軸との交点とy軸との交点を利用する方法です。
まずy=0としてx軸との交点を求めます。
2x-3×0+6=0
2x+6=0
x=-3
となるため、点(-3,0)を通ります。
次にx=0としてy軸との交点を求めます。
0-3y+6=0
-3y=-6
y=2
となるため、点(0,2)を通ります。
この2点(-3,0)、(0,2)を結ぶ直線が境界線になります。
不等式のどちら側を塗るか判断する方法
直線を書いただけでは、領域が直線の上側なのか下側なのかわかりません。そこで、代表的な点を代入して判断します。
一般的には原点(0,0)を代入すると簡単です。
2×0-3×0+6≧0
6≧0
となり、これは正しい式になります。
つまり、原点(0,0)を含む側が答えの領域になります。
今回の場合、直線より下側の範囲ではなく、原点を含む側、つまり直線の下ではなく上側の領域を表します。
境界線を含むかどうかに注意する
不等号の種類によって、境界線を含むかどうかが変わります。今回の不等式は「2x-3y+6≧0」です。
「≧」や「≦」の場合は、等号が含まれているため境界線上の点も答えに含まれます。そのため、直線は実線で描きます。
一方で「＞」や「＜」の場合は境界線上の点を含まないため、直線は点線で描きます。
この違いを忘れると、領域自体は合っていても数学の答えとしては不正解になる場合があります。
2x-3y+6≧0の答えをまとめる
ここまでの手順を整理すると、2x-3y+6≧0の領域を求める流れは以下のようになります。
① 不等式を2x-3y+6＝0として境界線を求める
② y=(2/3)x+2の直線を描く
③ 原点などの点を代入して、どちら側が条件を満たすか確認する
④ 「≧」なので境界線を含めて領域を塗る
実際の図では、点(-3,0)と点(0,2)を通る直線を引き、その直線を境界として原点を含む側すべてが不等式の表す領域になります。
不等式の領域問題を解くコツ
不等式の領域問題では、毎回図を感覚で判断するのではなく、「境界線を求める」「点を代入する」という手順を守ることが大切です。
例えば複雑な式になった場合でも、境界線さえ正しく書ければ、あとは1点を代入するだけでどちら側を選べばよいか判断できます。
この方法を身につけると、一次不等式だけでなく、連立不等式の領域問題にも応用できます。
まとめ
不等式2x-3y+6≧0が表す領域を図示するには、まず境界線である2x-3y+6＝0を求めます。
境界線は点(-3,0)と点(0,2)を通る直線で、原点を代入すると条件を満たすため、原点を含む側が答えの領域になります。
また、「≧」なので境界線も含まれ、直線は実線で描きます。不等式の領域問題は、この基本手順を覚えることで正確に解けるようになります。
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