青チャートの問題で、(X²-1)⁷ の「x³の係数」を求める問題について解説します。この問題では、二項定理を使ってx³の係数を求める必要がありますが、分数が出てきて困惑することもあります。今回はその解法を詳しく解説します。
二項定理とは？
二項定理は、(a+b)ⁿ の形の式を展開するための公式です。この公式を使うことで、指定された項の係数を簡単に求めることができます。二項定理の一般的な形は以下の通りです。
(a+b)ⁿ = Σ [nCr * a^(n-r) * b^r]
ここで、nCr は n の r 番目の二項係数を表し、a と b は任意の数または式です。
問題の整理
与えられた式は (X²-1)⁷ です。ここで、x³の係数を求めるために、x³の項がどのように展開されるかを考えます。
まず、(X²-1)⁷ の展開式の中で、x³が現れる条件を見ていきます。X² の項からx³を作るには、(X²) と -1 を組み合わせる必要があります。
展開式の計算方法
この式を展開するために、二項定理を使います。式は次のように展開されます。
(X²-1)⁷ = Σ [7Cr * (X²)^(7-r) * (-1)^r]
これを展開していくと、(X²)^(7-r) は X の 2倍のべき乗になります。これを見ていくと、x³の項がどのように出てくるかがわかります。
x³の係数の求め方
具体的にx³の項を作るためには、(X²)^(7-r) のべき乗がx³になるようにrを決めます。X² のべき乗が x³ になるには、7-r = 3 とする必要があります。このとき、r = 4 です。
r = 4 のとき、展開式の項は次のようになります。
7C4 * (X²)³ * (-1)^4 = 7C4 * X⁶ * 1
しかし、x³の項は存在しません。したがって、x³の係数は0となります。
まとめ
問題 (X²-1)⁷ においてx³の係数を求める方法を解説しました。二項定理を使って展開し、x³の項が現れる条件を調べた結果、x³の係数は0であることがわかりました。これで問題が解決できたと思います。
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