平方根の問題では、「ある数をかけた結果が整数になる条件」を考える問題がよく出題されます。特に√7(80−n)のような式では、√の中にない数をどのように扱えばよいのかがポイントになります。
この記事では、√7(80−n)が整数になるためには何を考えればよいのか、平方根の性質を使った解き方を順番に解説します。
平方根が整数になる条件を考える
まず、問題の式を確認します。
√7(80−n)
この式が整数になるような自然数nを探します。
ポイントは、√7はそのままでは整数ではないということです。√7は約2.645…のような無理数なので、√7に整数をかけても通常は整数になりません。
したがって、√7を含む部分を消すためには、√7の中に7の倍数となるものを作る必要があります。
式を平方根の中にまとめる
平方根の性質として、a√bは√(a²b)と表すことができます。
今回の式では、80−nは平方根の外側にありますが、次のように考えることができます。
√7(80−n)=√(7(80−n)²)
この形にすると、整数になる条件が見えてきます。
平方根が整数になるためには、√の中身が完全平方数（ある整数の2乗）である必要があります。
√7(80−n)を整数にする条件
別の考え方として、√7×(80−n)が整数になるには、80−nの中に√7を打ち消す要素が必要です。
例えば、80−nが7の倍数の場合を考えます。
80−n=7kとすると、式は次のようになります。
√7×7k=7k√7
しかし、これはまだ整数にはなりません。なぜなら√7が残っているからです。
つまり、単純に7の倍数にするだけでは不十分で、√7を消すためには80−n自体が√7を含む形になる必要があります。
整数になるためには平方数を利用する
√7(80−n)を整数にするには、80−nが7の平方根を含む形、つまり7の平方根を消せる形である必要があります。
例えば、80−nを7m²の形にすると考えます。
80−n=7m²
このとき、式は以下のようになります。
√7×7m²=7m²√7
この形でもまだ√7が残るため、注意が必要です。
ここで重要なのは、問題文の表記が「√7(80−n)」の場合、通常は√7と(80−n)全体の積を意味します。そのため、整数にするには80−nを√7の倍数にすることはできず、実数としての条件を確認する必要があります。
実際の平方根問題で使う考え方
中学数学でよく出る「√a×整数が整数になる」という問題では、√の中身と外側の数の関係を見ることが基本です。
例えば、√2×√8なら、√16=4となり整数になります。これは√の中同士を掛けることで平方数ができるためです。
一方で、√7×整数のように、整数部分だけを変えても√7自体を消すことはできません。
この問題を解くときの注意点
平方根の問題では、式の読み方が非常に重要です。
「√7(80−n)」が「√7×(80−n)」なのか、「√{7(80−n)}」なのかによって答えが大きく変わります。
もし問題集などで出題された場合、記号の位置や括弧の付け方を確認する必要があります。
特に平方根では、√の線がどこまでかかっているかによって別の問題になるため、式を正確に読むことが大切です。
まとめ
√7(80−n)が整数になる問題では、まず√の性質を理解し、平方根の中身がどのような形になるかを考えることが重要です。
√7のような無理数は、単純に整数をかけただけでは消えません。そのため、平方数を作ることや、√記号がどこまでかかっているかを確認する必要があります。
平方根の問題では、計算する前に「整数になるための条件」を考える習慣をつけると、難しい問題でも解きやすくなります。
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