非線形振動の解析では、微分方程式を相平面上の力学系として考えることで、解の動きや平衡点の性質を視覚的に理解できます。ここでは、dx/dt=y、dy/dt=-sinx で表される非線形振動系について、解軌道の方程式、平衡点、さらに安定性を順番に求めていきます。
微分方程式を相平面の力学系として考える
与えられた微分方程式は、
dx/dt=y
dy/dt=-sinx
です。この形は、単振り子の運動方程式を無次元化したものとしても知られており、非線形振動系の代表例です。
相平面では、横軸をx、縦軸をyとして、点(x,y)の時間変化を軌道として表します。dx/dtとdy/dtから、各点での速度ベクトルが決まり、系全体の動きを調べることができます。
解軌道の方程式を求める
まず、時間tを消去してxとyの関係式を求めます。
dx/dt=yより、
dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=(dy/dx)y
となります。
これを2つ目の式dy/dt=-sinxに代入すると、
y(dy/dx)=-sinx
になります。
両辺にdxを掛けると、
y dy=-sinx dx
となり、積分できます。
左辺を積分すると、
∫y dy=1/2 y²
右辺は、
∫-sinx dx=cosx
です。
したがって、
1/2 y²=cosx+C
となります。
整理すると、解軌道は
y²/2-cosx=C
で表されます。
この式が相平面上の軌道の方程式になります。定数Cごとに異なる曲線が得られ、粒子のエネルギー一定の曲線として解釈できます。
平衡点を求める
平衡点とは、時間が経過しても位置が変化しない点です。そのため、
dx/dt=0
dy/dt=0
を満たす点を探します。
dx/dt=yなので、
y=0
である必要があります。
また、dy/dt=-sinxなので、
-sinx=0
となります。
sinx=0を満たすのは、
x=nπ（nは整数）
です。
したがって平衡点は、
(x,y)=(nπ,0)
となります。
平衡点の安定性を調べる
平衡点の安定性を調べるために、線形化を行います。
系を、
f(x,y)=y
g(x,y)=-sinx
とすると、ヤコビ行列は、
J=[[0,1],[-cosx,0]]
になります。
平衡点x=nπで評価すると、
J=[[0,1],[-cos(nπ),0]]
となります。
x=2kπの平衡点の安定性
x=2kπでは、
cos(2kπ)=1
なので、ヤコビ行列は、
J=[[0,1],[-1,0]]
になります。
固有方程式は、
λ²+1=0
となり、
λ=±i
です。
固有値の実部が0なので、この点は中心型の平衡点になります。
したがって、x=2kπ,y=0は安定な中心（リャプノフ安定）です。近くの解軌道は閉じた曲線となり、周期的な振動をします。
x=(2k+1)πの平衡点の安定性
x=(2k+1)πでは、
cos((2k+1)π)=-1
なので、
J=[[0,1],[1,0]]
になります。
固有方程式は、
λ²-1=0
となり、
λ=±1
です。
正と負の固有値を持つため、この平衡点は鞍点で不安定です。
つまり、x=π、3πなどの位置では、少しずれると元に戻らず離れていく運動になります。
相平面上での運動の特徴
解軌道の式
y²/2-cosx=C
から、エネルギーが低い場合はx=2kπ付近で閉じた軌道になります。これは振り子が小さく揺れている状態に対応します。
一方、エネルギーが大きくなると鞍点を通過する軌道が現れ、振り子が一方向に回転し続けるような運動になります。
このように、相平面を見ることで、単なる数式では分かりにくい振動や回転運動の違いを理解できます。
まとめ｜非線形振動系の解析結果
微分方程式dx/dt=y、dy/dt=-sinxについて、解軌道は
y²/2-cosx=C
で与えられます。
平衡点は、
(x,y)=(nπ,0)
であり、x=2kπでは安定な中心、x=(2k+1)πでは不安定な鞍点になります。
この解析は、非線形振動系を理解する基本的な例であり、相平面を用いることで解の性質や安定性を直感的に把握できます。
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