指数を含む式の値の範囲を求める問題では、xがすべての実数をとるときに式がどのような値になるかを考える必要があります。特に「t＝2^x＋2^-x」のような形は、一見すると複雑に見えますが、置き換えや不等式を利用すると簡単に解くことができます。この記事では、このタイプの問題を解く考え方を順番に解説します。
まず式を置き換えて考える
与えられた式は、t＝2^x＋2^-xです。このままでは扱いにくいため、まず2^xを別の文字に置き換えます。
ここで、a＝2^xとおきます。2のx乗はxがどんな実数でも必ず正の値になるため、a＞0です。
すると、2^-xは1÷2^xなので、2^-x＝1/aとなります。したがって式は次のように変形できます。
t＝a＋1/a（ただしa＞0）
a＋1/aの最小値を考える
次に、t＝a＋1/aがどのような値をとるかを調べます。ここで重要なのは、aが0より大きい範囲で動くということです。
相加平均と相乗平均の関係を利用すると、aと1/aについて次の不等式が成り立ちます。
a＋1/a≧2√(a×1/a)
a×1/a＝1なので、
a＋1/a≧2
となります。
つまり、tは必ず2以上の値になります。
等号が成立する条件を確認する
不等式では、ただ下限を求めるだけでなく、その値を実際にとることができるかを確認することが大切です。
a＋1/a＝2となるのは、相加平均と相乗平均の等号成立条件から、
a＝1/a
の場合です。
これを解くと、a²＝1となり、a＞0なのでa＝1になります。
a＝1ということは、2^x＝1なので、x＝0です。このとき実際にt＝2になります。
xが大きく変化した場合の値も確認する
xが非常に大きくなると、2^xは非常に大きな値になり、2^-xはほぼ0に近づきます。そのため、tは非常に大きくなります。
逆にxが非常に小さくなると、2^-xが大きくなり、やはりtは大きくなります。
つまり、tには最大値は存在せず、最小値だけが存在します。
求めるtの範囲
以上の結果から、tは2以上のすべての値をとることが分かります。
したがって、tの取り得る値の範囲は、
t≧2
となります。
このような問題では、指数部分をそのまま扱おうとせず、「正の数に置き換える」ことで、基本的な不等式の問題に変えることがポイントです。
まとめ
t＝2^x＋2^-xの値の範囲を求める場合は、2^xをaと置いて、t＝a＋1/a（a＞0）という形に変形します。
その後、相加平均と相乗平均の関係からa＋1/a≧2を利用し、最小値を求めます。等号成立条件を確認するとt＝2は実際に存在するため、答えはt≧2となります。
指数関数を含む範囲問題では、正の数への置き換えと不等式の利用が基本的な解法になります。
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