3次方程式の係数に√3のような無理数が含まれていると、因数分解や解の判定が難しく感じることがあります。しかし、適切な置換を行うことで無理数を消去し、通常の3次方程式として扱うことができます。
この記事では、8√3t³-48t²+24√3t-9=0のような式を例に、置換によって解きやすい形に変形する方法、さらに条件から不適な解を除く流れを詳しく解説します。
無理数を含む3次方程式では置換を考える
与えられた方程式は、
8√3t³-48t²+24√3t-9=0
です。
このままでは最高次の係数に√3が含まれているため、因数分解の形を見つけにくくなります。そこで、√3をまとめて消すために、
s=√3t
と置換します。
この置換をすると、t=s/√3となり、t³=s³/(3√3)になるため、√3を含む係数が整理できます。
置換後の方程式を作る
各項を変換すると、
8√3t³=8√3×s³/(3√3)=8s³/3
-48t²=-48×s²/3=-16s²
24√3t=24s
となります。
したがって、元の方程式は、
(8/3)s³-16s²+24s-9=0
になります。
両辺を3倍すると、
8s³-48s²+72s-27=0
となります。この形なら通常の整数係数の3次方程式として扱えます。
因数分解によって3次方程式を解く
まず簡単な解を探します。s=3/2を代入すると、
8(3/2)³-48(3/2)²+72(3/2)-27=0
となるため、s=3/2は解です。
したがって、因数定理より、2s-3を因数に持ちます。
実際に割ると、
8s³-48s²+72s-27=(2s-3)(4s²-18s+9)
となります。
よって、
(2s-3)(4s²-18s+9)=0
です。
二次方程式から残りの解を求める
二次方程式
4s²-18s+9=0
を解きます。
解の公式より、
s=(18±√(324-144))/8=(18±6√5)/8=(9±3√5)/4
となります。
したがって、sの候補は、
s=3/2、(9+3√5)/4、(9-3√5)/4
の3つです。
sからtへ戻して条件を確認する
置換はs=√3tなので、
t=s/√3
です。
s=3/2の場合、
t=√3/2
となります。
このとき、条件t=√(3-r)より、
r=3-t²=3-3/4=9/4
となり、0<r≦3を満たします。
次に、
s=(9±3√5)/4
について考えます。
t²=s²/3なので、
t²=(9±3√5)²/(16×3)=(21±9√5)/8
になります。
したがって、
r=3-t²=3-(21±9√5)/8=(3∓9√5)/8
です。
条件によって不適な解を除く
s=(9+3√5)/4の場合、
r=(3-9√5)/8
となります。
9√5は約20.12なので、
r≈(3-20.12)/8≈-2.14
となり、条件0<rを満たさないため不適です。
一方、
s=(9-3√5)/4の場合、
r=(3+9√5)/8
となります。
これは約2.89であり、0<r≦3を満たすため適切な解です。
最終的な解
条件を満たす組は次の2つになります。
1つ目は、
t=√3/2、r=9/4
です。
2つ目は、
t=(9-3√5)/(4√3)、r=(3+9√5)/8
です。
一方、t=(9+3√5)/(4√3)に対応するrは負になるため、条件から除外されます。
まとめ
無理数を係数に含む3次方程式でも、√3をまとめるような置換を行えば、整数係数の方程式に変換できます。
今回の問題ではs=√3tと置くことで、
8s³-48s²+72s-27=0
という扱いやすい形になり、因数分解によって解を求めることができました。
また、方程式の解を求めるだけでなく、元の問題に条件がある場合は必ず最後に条件チェックを行うことが重要です。無理数を含む方程式では、置換による整理と条件による取捨選択が解法のポイントになります。
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