三角関数の合成では、a sinx + b cosx を √(a²+b²) sin(x+θ) の形に変形する公式をよく利用します。しかし、係数aやbが特殊な値になる場合、この公式がそのまま使えるのか疑問に感じることがあります。
特にa=b=0の場合や、a=0・b=0の場合には、θの決め方や式の意味を確認する必要があります。この記事では、三角関数の合成公式が成立する条件と、それぞれの場合の扱い方を分かりやすく解説します。
三角関数の合成公式が成り立つ仕組み
三角関数の合成は、一般に次のような形で表されます。
a sinx + b cosx = √(a²+b²) sin(x+θ)
ここで加法定理を使うと、右辺は次のように展開できます。
√(a²+b²) sin(x+θ)=√(a²+b²)(sinx cosθ+cosx sinθ)
これを整理すると、sinxの係数とcosxの係数がそれぞれ一致する必要があります。
つまり、cosθ=a/√(a²+b²)、sinθ=b/√(a²+b²)となるようなθを選ぶことで、もとの式と同じ形にできます。
a=b=0の場合は三角関数の合成公式を使えるのか
a=b=0の場合、もとの式は次のようになります。
0sinx+0cosx=0
一方で合成公式に代入すると、√(a²+b²)=0となります。
つまり右辺は、
0×sin(x+θ)=0
となり、結果だけを見ると式自体は0=0で成立しています。
しかし問題になるのはθの定義です。
cosθ=a/√(a²+b²)、sinθ=b/√(a²+b²)に代入すると、分母が0になります。
つまり、0で割ることになるため、cosθやsinθを決めることができません。そのため、a=b=0の場合は三角関数の合成公式を通常の形では利用できないと考えます。
ただし、式の値そのものは常に0なので、別途「この式は0である」と判断すれば問題ありません。
a=0、b=0の場合は合成公式を使えるのか
a=0、b≠0の場合を考えます。
このとき式は、
0sinx+bcosx=bcosx
となります。
√(a²+b²)=|b|なので、分母は0ではありません。そのため、
cosθ=0、sinθ=b/|b|
を満たすθを選ぶことができます。
例えばbが正の場合は、sinθ=1となるためθ=π/2と考えられます。
したがって、a=0の場合でも合成公式は問題なく使用できます。
同様に、b=0、a≠0の場合も考えてみます。
この場合は、
a sinx+0cosx=a sinx
となり、√(a²+b²)=|a|なので分母は0になりません。
cosθ=a/|a|、sinθ=0となるθを選べばよいため、こちらも合成公式を利用できます。
合成公式が使える条件は何か
三角関数の合成公式で重要なのは、√(a²+b²)が0にならないことです。
つまり条件は、
a²+b²≠0
です。
これは言い換えると、aとbが同時に0ではなければよいという意味です。
例えば、a=3、b=0やa=0、b=-5のような場合は、一方の係数が0でももう一方が0ではないため、問題なく合成できます。
逆にa=0、b=0だけは、振幅√(a²+b²)が0になってしまうため、角度θを決定できません。
三角関数の合成で注意すべきポイント
三角関数の合成では、公式を暗記するだけでなく、なぜ分母に√(a²+b²)が出てくるのかを理解しておくことが大切です。
√(a²+b²)は、sinxとcosxの係数をまとめた新しい振幅を表しています。この値が0の場合、波の大きさ自体がなくなるため、位相を表すθを決める意味がなくなります。
例えば、長さ0のベクトルには向きが存在しないのと同じです。aとbを座標成分と考えると、(0,0)の点には方向がないため、θを定められないと考えると理解しやすくなります。
まとめ｜a=b=0だけは例外として扱う
三角関数の合成公式は、aとbが同時に0でなければ使用できます。
a=0またはb=0の場合でも、√(a²+b²)が0にならないため、通常通りθを決めて合成することが可能です。
一方でa=b=0の場合は、式自体は0になりますが、cosθやsinθの計算で0除算が発生するため、合成公式の形では扱えません。
三角関数の合成では「係数が0かどうか」ではなく、「aとbが同時に0かどうか」を確認することがポイントになります。
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