高校数学で出てくる「ルートの計算」は、最初はどこに何を掛ければいいのか混乱しやすい単元です。
特に、（3√2＋3）（5√2−√3）のように、文字ではなくルートが入っている式では、符号ミスや掛け忘れがよく起こります。
この記事では、途中式を改行しながら、順番にわかりやすく解説していきます。
まずは全部に掛ける
問題はこちらです。
（3√2＋3）（5√2−√3）
この形は、前のカッコの中を、後ろのカッコの中すべてに掛けます。
つまり、
3√2 × 5√2
3√2 × （−√3）
3 × 5√2
3 × （−√3）
を順番に計算します。
1つずつ計算する
まず、
3√2 × 5√2
＝15 × √2 × √2
＝15 × 2
＝30
になります。
次に、
3√2 × （−√3）
＝−3√6
です。
ルート同士は、
√a × √b ＝ √ab
で計算します。
残りも計算する
次は、
3 × 5√2
＝15√2
です。
最後に、
3 × （−√3）
＝−3√3
になります。
全部まとめる
ここまでの結果を全部並べると、
30
−3√6
＋15√2
−3√3
となります。
同じルートの種類がないので、これ以上まとめられません。
したがって答えは、
30＋15√2−3√3−3√6
です。
なぜ√2×√2＝2になるの？
ここはよく大事なポイントです。
√2 × √2 は、
「2の平方根を2回掛ける」
ので、元の数字の2に戻ります。
例えば、
| 計算 | 結果 |
|---|---|
| √2 × √2 | 2 |
| √3 × √3 | 3 |
| √5 × √5 | 5 |
となります。
これはルート計算の基本ルールです。
展開でよくあるミス
ルートの展開では、次のミスが多いです。
- 全部に掛けるのを忘れる
- マイナス符号を落とす
- √2×√2 を √4 のまま止める
- √2＋√3 を √5 にしてしまう
特に、
√2＋√3 は計算できません
という点は重要です。
足し算と掛け算ではルールが違います。
まとめ
（3√2＋3）（5√2−√3）は、すべてに順番に掛けて計算します。
途中式は、
3√2 × 5√2 ＝ 30
3√2 × （−√3）＝ −3√6
3 × 5√2 ＝ 15√2
3 × （−√3）＝ −3√3
となり、最終的な答えは、
30＋15√2−3√3−3√6
です。
ルート計算では、「全部に掛ける」「ルート同士は掛け算できる」という2つを意識すると解きやすくなります。
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