数列の問題では、「ある条件を初めて満たす項を求めなさい」という形式がよく出題されます。特に、数列の各項が式で表されている場合は、一般項を使って不等式を作ることで簡単に解くことができます。本記事では、数列3n−1について、初めて100を超える項を求める考え方を例に、一次数列の問題の解き方を分かりやすく解説します。
数列3n−1の意味を理解する
「3n−1」という式で表される数列は、nに1、2、3…を順番に代入して各項を求める数列です。
例えば、n=1のときは3×1−1=2となるため、第1項は2になります。同じように計算すると、数列は以下のようになります。
| 項番号 | 計算 | 項の値 |
|---|---|---|
| 第1項 | 3×1−1 | 2 |
| 第2項 | 3×2−1 | 5 |
| 第3項 | 3×3−1 | 8 |
| 第4項 | 3×4−1 | 11 |
このように、3n−1で表される数列は、2、5、8、11…と3ずつ増えていく等差数列になっています。
「初めて100を超える」の意味を考える
「初めて100を超える」という言葉は、その項の値が100より大きくなる最初の場所を探すという意味です。
つまり、第n項を表す式3n−1が100より大きくなる条件を考えます。式で表すと、
3n−1＞100
という不等式になります。
ここで重要なのは、「100以上」ではなく「100を超える」と書かれているため、記号は「＞」を使う点です。もし「100以上」と書かれていた場合は「≧」になります。
不等式を解いてnの範囲を求める
3n−1＞100を解いていきます。
3n＞101
n＞101÷3
n＞33.666…
したがって、nは33.666…より大きい整数である必要があります。
数列の項番号nは1、2、3…という整数なので、条件を満たす最小の整数は34になります。
つまり、3n−1が初めて100を超えるのは第34項です。
実際に第34項で確認する
計算結果が本当に正しいか確認するため、第34項の値を求めます。
3×34−1=102−1=101
第34項は101となり、100を超えています。
また、第33項も確認すると、
3×33−1=99−1=98
となり、まだ100を超えていません。
したがって、第33項では条件を満たさず、第34項で初めて条件を満たすことが確認できます。
このタイプの数列問題を解くコツ
「初めて○○を超える項を求めよ」という問題では、すべての項を書き出して調べる必要はありません。一般項が分かっている場合は、不等式を作ることが基本的な解法になります。
解き方の流れは以下の通りです。
- 第n項の式を確認する
- 条件を不等式で表す
- 不等式を解いてnの範囲を求める
- 最小の整数のnを選ぶ
- 必要なら前の項で確認する
例えば、数列5n+2が初めて50を超える項を求める場合も、5n+2＞50という不等式を解けば同じ考え方で求められます。
まとめ：3n−1が初めて100を超えるのは第34項
数列3n−1で初めて100を超える項を求める場合は、項を順番に書き出すのではなく、第n項の式を利用します。
条件である「100を超える」を不等式にすると、3n−1＞100となり、これを解くことでn＞33.666…が得られます。
nは整数なので最小の値は34となり、第34項が初めて100を超える項です。このように、数列の条件問題では不等式を作ることが解答への近道になります。
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