定積分の計算では、まず不定積分を求め、その後で上端と下端の値を代入するという流れが基本になります。特に「3x-cosx」のように多項式と三角関数が組み合わされた式では、それぞれを分けて積分すると計算しやすくなります。
この記事では、∫₀²(3x-cosx)dxの計算過程を途中式を省略せずに解説します。定積分の考え方や、符号のミスを防ぐポイントも確認していきます。
定積分∫₀²(3x-cosx)dxの基本的な考え方
今回計算する積分は、次の式です。
∫₀²(3x-cosx)dx
定積分では、まず積分する関数の原始関数（不定積分）を求めます。その後、上端の値を代入した結果から下端の値を代入した結果を引きます。
つまり、関数f(x)の定積分は「F(上端)-F(下端)」という形になります。
まず不定積分を求める
積分する式を2つの部分に分けて考えます。
∫(3x-cosx)dx=∫3x dx-∫cosx dx
それぞれ別々に計算します。
まず3xの積分は、xの積分公式を使います。
∫3x dx=3×(x²/2)=3x²/2
次にcosxの積分を計算します。
∫cosx dx=sinx
したがって、不定積分は以下になります。
∫(3x-cosx)dx=3x²/2-sinx
上端と下端を代入して計算する
求めた原始関数F(x)=3x²/2-sinxを使って、0から2までの値を計算します。
∫₀²(3x-cosx)dx=[3x²/2-sinx]₀²
これは、F(2)-F(0)を計算するという意味です。
まずx=2を代入します。
F(2)=3×2²/2-sin2
=3×4/2-sin2
=6-sin2
次にx=0を代入します。
F(0)=3×0²/2-sin0
=0-0
=0
したがって、定積分の値は次のようになります。
F(2)-F(0)=(6-sin2)-0
=6-sin2
答えである6-sin2の意味を確認する
最終的な答えは「6-sin2」です。ここでsin2はラジアン単位で計算されることに注意が必要です。
高校数学や大学初年度の数学では、積分に出てくる三角関数の角度は基本的にラジアンで扱います。例えばsin2は約0.909なので、数値で表すと約5.091になります。
ただし、問題で特に指定がない場合は、通常は6-sin2のような形のまま答えることが多いです。
計算ミスを防ぐためのポイント
このような積分では、特に「マイナス記号」と「積分後の符号」で間違いやすくなります。
今回の場合、-cosxを積分すると-sinxになります。cosxの積分がsinxだからといって、元の式のマイナスを忘れないことが重要です。
また、定積分では最後に必ず「上端の値-下端の値」を計算します。下端の値を引く部分を忘れると答えが変わってしまうため注意しましょう。
まとめ｜∫₀²(3x-cosx)dxは分けて積分すると簡単に解ける
∫₀²(3x-cosx)dxは、3xの部分とcosxの部分を分けて積分することで計算できます。
途中式を整理すると、不定積分は3x²/2-sinxとなり、0と2を代入して差を求めることで答えは6-sin2になります。
定積分では「不定積分を求める」「上端と下端を代入する」「上端から下端を引く」という3つの手順を守ることで、複雑に見える問題でも正確に解くことができます。
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