2変数関数の極限の解き方｜極座標変換で0に収束する条件を丁寧に解説

2変数関数の極限では、極座標変換を用いることで計算が簡単になる場合があります。しかし、変換後の式の扱い方を誤ると、誤った結論に至ることもあります。本記事では、与えられた関数の極限の考え方を整理しながら、正しい評価方法を解説します。

問題設定と極座標変換の基本

関数 f(x,y)=√(x²+y²)/arctan(y/x) を (x,y)→(0,0) の極限で考えます。

ここで x=rcosθ, y=rsinθ とおくと、√(x²+y²)=r となります。

また y/x=tanθ なので、arctan(y/x)=arctan(tanθ) となりますが、ここに注意が必要です。

arctanは単に逆関数として機械的に扱うことができません。

なぜなら arctan(tanθ)=θ となるのは主値範囲（-π/2 < θ < π/2）に限られるためです。

今回の条件 x>0, y>0 では θ は (0, π/2) に制限されるため、この範囲では成立します。

条件を満たす範囲では arctan(y/x)=θ と置けるため、関数は f(r,θ)=r/θ となります。

ここで重要なのは、極限において r→0 と同時に θ も一定方向に依存する点です。

つまり単純に r→0 として扱うだけでは不十分です。

(x,y)→(0,0)では、θは固定されず経路によって変化します。

したがって r/θ の極限を考える際には、θ→0 またはθ→定数のどちらを取るかで結果が変わる可能性があります。

特に θ→0 に近づく経路では、分母が小さくなるため値は発散する可能性があります。

この関数は経路依存性があり、(x,y)→(0,0) の極限は一意に定まりません。

特定の直線経路では値が0に見える場合もありますが、それは全経路で一致していることを意味しません。

したがって、この極限は「0と結論づけることはできない」が正しい評価です。

極座標変換は2変数極限の強力な手法ですが、角度θの扱いを誤ると誤解が生じます。

今回の関数ではθ依存性が残るため、単純にr→0とするだけでは極限は決まりません。

重要なのは、すべての経路で一致するかどうかを確認することです。