球座標変換における偏微分の計算｜Ux²+Uy²+Uz²をUr・Uθ・Uφで表す方法

球座標変換における偏微分の変換は、ベクトル解析や数学物理で重要なテーマです。特に直交座標系の微分演算子を球座標に変換する問題は、構造を正しく理解することが鍵になります。本記事ではUx, Uy, UzをUr, Uθ, Uφで表す考え方を整理します。

座標変換の基本構造

まず、直交座標と球座標の関係は次のように与えられます。

x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ です。

この変換により、関数U = f(x,y,z)はU(r,θ,φ)として表現されます。

Ux, Uy, Uzはそれぞれx, y, zに関する偏微分です。

球座標では連鎖律より、Ur, Uθ, Uφを用いて表現できます。

例えばUx = Ur∂r/∂x + Uθ∂θ/∂x + Uφ∂φ/∂xのようになります。

この式は直交座標における勾配ベクトルの大きさの二乗を表します。

つまり |∇U|² = Ux² + Uy² + Uz² という意味です。

これは座標変換しても不変なスカラー量になります。

球座標では勾配は次の形で表されます。

∇U = Ur er + (1/r)Uθ eθ + (1/(r sinθ))Uφ eφ です。

それぞれの単位ベクトルは直交しているため、二乗和が扱いやすくなります。

直交性より、Ux² + Uy² + Uz²は球座標では次の形になります。

Ux² + Uy² + Uz² = Ur² + (1/r²)Uθ² + (1/(r² sin²θ))Uφ² となります。

これは球座標における勾配の大きさの二乗そのものです。

Ux² + Uy² + Uz²は座標系に依存しないスカラー量であり、球座標では適切なスケーリングが入ります。

結果としてUr, Uθ, Uφを用いることで上式のように整理できます。

座標変換問題では、幾何学的意味（勾配の長さ）を意識することが重要です。