多変数関数が有界閉区間上で一様連続になることをε-δ論法で証明する問題は、解析学の中でも重要なテーマの一つです。本記事では、その定理の意味から証明の流れまでを丁寧に整理し、初学者でも理解できる形で解説します。
① 一様連続性の定義の整理
関数fが集合F上で一様連続であるとは、任意のε>0に対してあるδ>0が存在し、すべてのx,y∈Fで |x−y|<δなら|f(x)−f(y)|<εとなることをいいます。
重要なのは「δが点に依存しない」という点で、通常の連続性との違いです。
② ε-δ論法の基本構造
ε-δ論法では、まず任意のε>0を固定し、それに対応するδを構成します。
その後、条件|x−y|<δから|f(x)−f(y)|<εを導く流れを作ります。
この構造を理解することが証明の出発点になります。
③ 有界閉区間の重要性（コンパクト性）
有界閉区間Fはコンパクト集合であり、解析学において特別な性質を持ちます。
特に「連続関数はコンパクト集合上で一様連続になる」という定理が成立します。
この性質が証明の核心部分になります。
④ 証明の基本方針（背理法）
一様連続でないと仮定すると、あるε0>0と点列xn,ynが存在し、|xn−yn|→0だが|f(xn)−f(yn)|≥ε0となります。
しかしFが有界閉区間であるため、Bolzano-Weierstrassの定理より収束部分列を取り出せます。
これにより矛盾を導きます。
⑤ 極限と連続性の利用
xn→x、yn→xとなる部分列を考えると、fの連続性からf(xn)→f(x)、f(yn)→f(x)が成立します。
しかし仮定より|f(xn)−f(yn)|≥ε0が崩れず矛盾します。
これにより一様連続性が示されます。
⑥ ε-δ形式での見方
この証明は構成的にδを直接与えるものではなく、存在を示すタイプの証明です。
そのためε-δ論法とコンパクト性を組み合わせる形になります。
解析学では非常に典型的な論証パターンです。
⑦ まとめ
有界閉区間上の連続関数は、コンパクト性により一様連続になります。
証明の本質は「点ごとの制御」から「全体での制御」へ移行できる点にあります。
ε-δ論法はその厳密化に使われる基本的な枠組みです。
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