空間図形の問題でよく出てくる「3辺が互いに直交する四面体」は、体積や高さが非常にシンプルに求まる重要な典型パターンです。本記事では、四面体OABCにおいてOA・OB・OCが直交し、それぞれの長さが与えられている場合の体積と高さの求め方を整理します。
問題の設定と図形の特徴
点Oを原点とし、OA・OB・OCが互いに直交しているため、この四面体は「直角三軸型四面体」と呼ばれる形になります。
このときOA＝3、OB＝4、OC＝2はそれぞれx・y・z軸方向の長さとみなすことができます。
この設定により、体積や距離はベクトル的に非常に単純化されます。
（1）四面体OABCの体積の求め方
直交する3辺を持つ四面体の体積は、直方体の体積の1/6で求めることができます。
つまり体積Vは V＝(1/6)×OA×OB×OC です。
よって V＝(1/6)×3×4×2＝4 となります。
（2）頂点Oから平面ABCへの高さOH
底面ABCはOA・OB・OCの端点で作られるため、三次元空間における切片平面になります。
このとき体積公式 V＝(1/3)×底面積×高さ を使います。
まず底面ABCの面積は、直交三角形の組み合わせとして (1/2)×4×2＝4 となります。
したがって 4＝(1/3)×4×OH より OH＝3 となります。
別解：座標ベクトルによる確認
Oを原点、A(3,0,0)、B(0,4,0)、C(0,0,2)とおくと、空間ベクトルで同じ結果が確認できます。
このとき体積はスカラー三重積の1/6で求まり、同様に4となります。
ベクトル的手法は応用問題にも対応できるため重要です。
このタイプの問題のポイント
この問題の本質は「直交関係を座標化できるかどうか」です。
空間図形では、直交が確認できた時点でベクトルや座標に置き換えると一気に簡単になります。
公式暗記よりも構造理解が重要な典型例です。
まとめ
四面体OABCの体積は4、頂点Oから底面ABCへの高さOHは3となります。
直交する3辺を持つ四面体は、体積が1/6公式で一発で求まる重要パターンです。
空間図形は座標化できるかどうかが計算効率を大きく左右します。
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