線積分 ∮c (x^2+y^2)dx + x^2y dy の計算と領域境界の扱いをわかりやすく解説

本記事では、与えられた閉曲線に沿った線積分 ∮c (x^2+y^2)dx + x^2y dy の求め方について解説します。領域が不等式で与えられている場合は、まず幾何学的構造を把握することが重要です。

積分の形とグリーンの定理の適用

今回の積分は閉曲線に沿った線積分であるため、グリーンの定理を用いて二重積分に変換できます。

∮c Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x – ∂P/∂y) dA を利用します。

P = x^2 + y^2, Q = x^2y として計算を進めます。

まず ∂Q/∂x = 2xy, ∂P/∂y = 2y となります。

したがって被積分関数は 2xy – 2y = 2y(x-1) に簡約されます。

これにより二重積分の形が明確になります。

領域Dは y^2 ≤ x および y ≥ |2x-1| で囲まれた部分です。

y^2 ≤ x は右向きに開く放物線、y = ±√x の内部領域を意味します。

y ≥ |2x-1| はV字型の領域の上側を表します。

交点を求めることで領域の範囲を確定します。

y = √x と y = |2x-1| の交点から x の範囲は [1/4, 1] に限定されます。

その範囲で上下の関数を分割して積分を設定します。

∬D 2y(x-1) dA を x, y の順に積分します。

y の上下限は |2x-1| から √x となります。

計算を実行すると対称性により積分値は 0 になります。

この線積分はグリーンの定理により二重積分へ変換できます。

領域の幾何構造を正しく理解することが計算の鍵となります。

結果として積分値は 0 に収束します。