方程式y^2=8xのように、yがxの関数として明示されていない場合の微分は混乱しやすいポイントです。本記事では、暗黙的微分を用いて正しく導関数を求め、接線の方程式を導く方法を解説します。
暗黙的微分とは何か
y^2=8xのような式では、yがxの関数y(x)として隠れています。
このような場合は両辺をxで微分し、yはy(x)として扱う必要があります。
その際、チェーンルールを用いてdy/dxを含む形に変形していきます。
両辺をxで微分する手順
左辺y^2を微分すると、合成関数の微分より2y・dy/dxとなります。
右辺8xを微分すると8になります。
したがって、2y・dy/dx = 8という式が得られます。
dy/dxを求める
先ほどの式を整理するとdy/dx = 8 / (2y)となります。
さらに簡単にするとdy/dx = 4 / yです。
これが曲線y^2=8x上の任意の点での接線の傾きです。
接線の方程式の求め方
接点を(x0, y0)とすると、まずy0^2 = 8×0を満たします。
その点での傾きはm = 4 / y0です。
よって接線は y – y0 = (4 / y0)(x – x0) となります。
具体例での確認
例えばx0=2のとき、y0^2=16よりy0=±4となります。
このとき傾きはm=4/4=1（または-1）です。
したがって接線はそれぞれ y-4 = 1(x-2)、または y+4 = -1(x-2) となります。
まとめ
y^2=8xの微分は、yを関数として扱う暗黙的微分がポイントです。
チェーンルールを正しく適用すればdy/dxを求めることができます。
その結果を使えば、任意の点での接線も正確に導出できます。
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