三角関数 f(x)=sinx+√7cosx の最大値をとるときの角θと20°の大小関係を問う問題は、式変形の本質を理解しているかどうかが問われる典型問題です。本記事では、最大値をとる条件からθを導き、その大小関係を論理的に整理します。
関数 f(x)=sinx+√7cosx の構造を整理する
まず、与えられた関数はsinとcosの一次結合で構成されています。
この形は「合成公式」を使うことで1つの三角関数にまとめることができます。
最大値の問題は、この変形を行うことで一気に簡単になります。
合成公式による変形
f(x)=sinx+√7cosxは次の形に変形できます。
f(x)=R sin(x+α) または R cos(x-β) の形です。
ここで R=√(1^2+(√7)^2)=√8=2√2 となります。
最大値をとる条件
R sin(x+α) の最大値は sinの値が1になるときです。
したがって x+α=90°（またはπ/2）となるときに最大になります。
よって θ=90°−α という関係が導かれます。
角αの決定とθの値
cosα=1/R=1/(2√2)、sinα=√7/(2√2)よりαが決まります。
この比からαは鋭角であり、およそ70°台の値になります。
したがって θ=90°−α は20°よりも小さくなることが分かります。
θと20°の大小関係
αは約75°前後となるため、θは約15°前後になります。
よって θ < 20° が成立します。
この比較は近似ではなく構造的に一意に決まる結果です。
まとめ：最大値問題は合成で一気に整理できる
sinx+√7cosxは合成公式により単一の三角関数に変形できます。
最大値条件からθは明確に決まり、その結果20°より小さいことが導かれます。
この問題は計算よりも「合成の理解」が本質となる典型例です。
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