2次関数 f(x)=x²-2x+2 の最大値・最小値（区間 a≦x≦a+2）を求める考え方

2次関数の最大値・最小値は「頂点の位置」と「区間の範囲」によって決まります。本記事では f(x)=x²-2x+2 を例に、区間 a≦x≦a+2 における最大・最小の求め方を整理します。

関数の形を整理する

まず与えられた関数を平方完成します。

f(x)=x²-2x+2 = (x-1)²+1 となります。

この形から、頂点は (1,1) であり最小値の候補になることが分かります。

区間は a≦x≦a+2 であり、aの位置によって場合分けが必要です。

頂点x=1が区間内にあるかどうかで最小値の位置が変わります。

この確認が最大・最小問題の基本です。

1が a≦1≦a+2 を満たすとき、最小値は頂点で1になります。

最大値は区間の端点 x=a または x=a+2 のどちらかです。

端点の値を比較して大きい方が最大値です。

1が区間より左にある場合（a>1）または右にある場合（a+2<1）があります。

このとき最小値は区間の端点で発生します。

同様に最大値も端点の比較で決まります。

f(a)=a²-2a+2、f(a+2)=(a+2)²-2(a+2)+2 を計算します。

これを比較することで最大値・最小値が決定します。

平方完成しているため計算は比較的整理しやすくなります。

この問題は「頂点が区間内にあるかどうか」で本質が決まります。

最小値は頂点または端点、最大値は必ず端点で求まります。

平方完成と場合分けをセットで考えることが重要です。