二次関数f(x)=x^2+2(a-5)x+a^2-11a+26の不等式条件（2）の解き方とaの範囲

二次関数のパラメータ問題では、「xの条件付きで不等式を満たす解が存在するか」を問う問題がよく出題されます。本記事では、関数f(x)=x^2+2(a-5)x+a^2-11a+26について、特に「f(x)<0かつx>aを満たすxが存在する条件」をどのように考えるかを整理します。

問題の構造を整理する

まず関数f(x)はxについての二次関数で、上に開く放物線です。

したがってf(x)<0となる領域は、判別式D>0のときにのみ存在し、そのとき2つの解の間の区間になります。

この「負になる区間」と「x>a」という条件の重なりを考えることが(2)の本質です。

二次関数がf(x)<0となるのは、2つの実数解α<βが存在する場合です。

そのとき解はα

したがって問題は「この区間の中にx>aを満たす点があるか」という幾何的な問題に帰着します。

区間α

f(x)<0かつx>aを満たすxが存在するためには、区間(α,β)がaより右側に完全にある必要はありません。

重要なのは「(α,β)の一部がx>aと重なるかどうか」です。

条件を整理すると、次の2つのどちらかで十分です。

① β>a（区間の右端がaより大きい場合）

② α

つまり本質的には「最大値側がaより右にあるか」が重要になります。

まずf(x)=0の解を求めるために判別式Dを計算し、D>0の条件を満たす必要があります。

その上で解の公式よりα,βをaの式で表し、β>aとなる条件を整理します。

このとき不等式はaについての条件式に帰着し、最終的な範囲が決定されます。

(2)は「二次関数の負の区間とx>aの重なり」を考える問題です。

単純な判別式だけでなく、解の位置関係を図でイメージすることが重要になります。

区間と条件の重なりを整理することで、aの範囲を正確に導くことができます。