絶対値の方程式｜|cosθ−1/2|＝1/2の解き方と0°≦θ≦180°での角度の求め方

絶対値を含む方程式は一見複雑に見えますが、場合分けの基本ルールを押さえることで確実に解くことができます。本記事では、0°≦θ≦180°における |cosθ−1/2|＝1/2 の解き方を、考え方の流れに沿って整理します。

絶対値方程式の基本的な考え方

絶対値 |A|＝B（B≧0）のとき、A＝B または A＝−B の2通りに分解できます。

今回の式では A＝cosθ−1/2、B＝1/2 として場合分けするのが出発点です。

この基本ルールを使うことで、三角関数の問題でも代数的に処理できるようになります。

まず cosθ−1/2＝1/2 を解くと cosθ＝1 となります。

0°≦θ≦180°の範囲で cosθ＝1 を満たすのは θ＝0°のみです。

ただし端点が含まれるため、この解は条件内で有効です。

次に cosθ−1/2＝−1/2 を解くと cosθ＝0 となります。

0°≦θ≦180°の範囲で cosθ＝0 を満たすのは θ＝90°です。

これは三角比の基本値として頻出の角度です。

cosθは単位円上のx座標に対応しており、値の範囲は−1から1です。

今回の条件は cosθ が 1 と 0 の2点に一致する位置を探す問題と解釈できます。

グラフで見ると、cosθの水平線との交点を求めている形になります。

今回の方程式の解は θ＝0° と θ＝90° の2つです。

絶対値の問題では「場合分けの漏れ」と「定義域の確認」が最も重要です。

特に三角関数では、範囲指定によって解が変わるため注意が必要です。

絶対値方程式は基本的に2通りに分解することで解くことができます。

今回の問題では cosθ＝1 と cosθ＝0 の2つのケースに帰着されました。

三角関数と絶対値の組み合わせ問題では、定義域の確認を最後に行うことが重要です。