三角比の問題では、tanθの値からsinθやcosθ、さらにはそれらの組み合わせを求める問題が頻出です。本記事では、0°＜θ＜180°という条件のもとで与えられたtanθの値から、典型的な3つの式を順序立てて求める考え方を整理します。
与えられた条件の整理
θは 0°＜θ＜180° であり、tanθ＝(√3－√5)/(√3+√5) が与えられています。
この範囲ではtanθの符号から、θが第2象限にある可能性も考慮する必要があります。
まずはtanθの値を有理化して扱いやすい形に整理することが重要です。
tanθ + 1/tanθ の計算
まずt＝tanθとおくと、求める式は t + 1/t です。
これは分母をそろえて (t²+1)/t と変形できます。
さらにtの具体値を代入し、分母・分子をそれぞれ整理することで値を求めます。
sinθcosθ を求める方法
基本公式として tanθ＝sinθ/cosθ があるため、sinθcosθは tanθを用いて表現できます。
代表的には sinθcosθ＝tanθ/(1+tan²θ)×cos²θの形や、恒等式 sin²θ+cos²θ＝1 を利用して整理します。
最も効率的なのは 1+tan²θ＝1/cos²θ を使う方法です。
sinθ + cosθ の求め方
sinθ+cosθは二乗して扱うのが定石です。
(sinθ+cosθ)²＝sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ を利用します。
すでに求めたsinθcosθの値を代入し、平方根をとることで値を求めます。
角度の符号と象限の注意点
θの範囲が 0°＜θ＜180° であるため、sinθは正ですがcosθは正負が変わります。
したがってsinθ+cosθの符号は単純に正とは限らず、象限判断が重要になります。
最終的な符号はtanθの符号と整合性を取ることで決定します。
まとめ
tanθからsinθやcosθを求める問題は、基本公式と恒等式の組み合わせで処理できます。
特に「1+tan²θ＝1/cos²θ」と「(sinθ+cosθ)²の展開」は頻出の重要テクニックです。
象限の判断を忘れずに行うことで、符号ミスを防ぎ正確な解答に到達できます。
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