連続関数 f(x) の反復積分 fk(x) が次のように表されることを示す方法を解説します。
問題設定
f1(x)=∫[0,x]f(t)dt とし、再帰的に fk(x)=∫[0,x]fk-1(t)dt と定義します。このとき、次を示すことが目標です。
fk(x)=∫[0,x](x-t)^(k-1)/(k-1)! f(t) dt
ステップ1：帰納法の準備
k=1 の場合、f1(x)=∫[0,x]f(t)dt なので、(x-t)^0/0!=1 が成立します。よって基底ケースは成立しています。
ステップ2：帰納法の仮定
ある k=n のとき
fn(x)=∫[0,x](x-t)^(n-1)/(n-1)! f(t) dt が成立すると仮定します。
ステップ3：帰納法による n+1 の導出
fn+1(x)=∫[0,x] fn(t) dt に対して、仮定を代入すると。
fn+1(x)=∫[0,x] dt ∫[0,t] (t-u)^(n-1)/(n-1)! f(u) du
積分順序の入れ替え（フビニの定理）を用いると。
fn+1(x)=∫[0,x] f(u) du ∫[u,x] (t-u)^(n-1)/(n-1)! dt
内側の積分を計算すると。
∫[u,x] (t-u)^(n-1)/(n-1)! dt = [(x-u)^n]/n!
したがって。
fn+1(x)=∫[0,x] (x-u)^n/n! f(u) du
まとめ
帰納法により、任意の k に対して次が成立します。
fk(x)=∫[0,x](x-t)^(k-1)/(k-1)! f(t) dt
これで公式の導出が完了しました。
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