n次元球面（n-1次元球面）上の点の座標を表すには、一般化された球面座標系（超球座標）を用います。4次元球面の例を拡張して、任意次元における点の座標を表す方法を解説します。
n次元球面（半径 r）の超球座標系
n次元空間における半径 r の球面上の点の座標 (x_1, x_2, …, x_n) は、n-1 個の角度パラメータ θ_1, θ_2, …, θ_{n-1} を用いて次のように表されます。
x_1 = r cos(θ_1)
x_2 = r sin(θ_1) cos(θ_2)
x_3 = r sin(θ_1) sin(θ_2) cos(θ_3)
…
x_{n-1} = r sin(θ_1) sin(θ_2) … sin(θ_{n-2}) cos(θ_{n-1})
x_n = r sin(θ_1) sin(θ_2) … sin(θ_{n-2}) sin(θ_{n-1})
角度の範囲
角度は次の範囲を持ちます。
- θ_1, …, θ_{n-2} ∈ [0, π]
- θ_{n-1} ∈ [0, 2π)
この設定により、すべての n 次元球面上の点を一意に表すことが可能です。
4次元球面との対応
4次元球面の場合（n = 4）、上記の一般式は以下のように簡略化されます。
x_1 = r cos(θ_1)
x_2 = r sin(θ_1) cos(θ_2)
x_3 = r sin(θ_1) sin(θ_2) cos(θ_3)
x_4 = r sin(θ_1) sin(θ_2) sin(θ_3)
これは、質問で与えられた 4 次元座標式に対応しており、角度 θ_1, θ_2, θ_3 がそれぞれの回転軸に対応します。
まとめ
任意の次元 n における球面上の点は、n-1 個の角度パラメータを使った超球座標系で表すことができます。一般式を用いることで、4次元やそれ以上の高次元における球面上の点の座標も統一的に記述できます。
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