高校数学では、背理法を用いて√3が無理数であることを証明する問題がよく出題されます。その際に重要となるのが「nは整数とする。n²が3の倍数なら、nは3の倍数である」という命題です。しかし、途中までは正しく進められていても、最後の矛盾の導き方に誤りがあるケースは少なくありません。この記事では正しい証明方法と、なぜその証明が成立するのかを分かりやすく解説します。
√3が無理数であることを示す基本方針
無理数であることを示す代表的な方法は背理法です。
まず√3が有理数であると仮定します。すると互いに素な整数p、qを用いて、√3＝p/qと表すことができます。
この仮定から矛盾を導ければ、最初の仮定が誤りであり、√3は無理数であると結論できます。
正しい証明の流れ
√3＝p/q（p、qは互いに素）と仮定します。
両辺を二乗すると、3q²＝p²となります。
ここでp²は3の倍数なので、命題「n²が3の倍数ならnも3の倍数である」より、pは3の倍数です。
したがって整数rを用いてp＝3rと書けます。
これを3q²＝p²に代入すると、3q²＝9r²となり、q²＝3r²です。
するとq²も3の倍数なので、再び命題よりqも3の倍数となります。
どこで矛盾が生じるのか
pが3の倍数であり、さらにqも3の倍数であることが分かりました。
これはpとqがともに3で割り切れることを意味します。
しかし最初にpとqは互いに素、つまり1以外の共通因数を持たないと仮定していました。
ところが実際には3という共通因数を持つことになり、仮定に矛盾します。
したがって√3を有理数と仮定したことが誤りであり、√3は無理数です。
質問の証明で不足している点
質問の証明では、p＝3rとした後に3r＝√3qという式を考えています。
そして「この方程式を満たすrとqの組み合わせはない」と結論していますが、その理由が数学的に示されていません。
証明では「なぜ存在しないのか」を明確に論理展開する必要があります。
一方、qも3の倍数になることを示せば、「pとqは互いに素」という仮定と直接矛盾するため、厳密な証明になります。
なぜqも3の倍数であることを示す必要があるのか
背理法では、最初に置いた仮定そのものと矛盾する事実を導くことが重要です。
この問題では「pとqは互いに素」という条件が与えられているため、その条件を崩すのが最も自然な方法です。
| 導かれる事実 | 意味 |
|---|---|
| pは3の倍数 | まだ矛盾は発生していない |
| qも3の倍数 | pとqが共通因数3を持つ |
| 互いに素に反する | 矛盾が完成する |
このように、qについても調べることが証明の決定的なポイントになります。
まとめ
√3が無理数であることを証明する際は、√3＝p/q（p、qは互いに素）と仮定し、3q²＝p²からpが3の倍数であることを示します。
さらにp＝3rを代入してq²＝3r²を導き、qも3の倍数であることを示します。
その結果、pとqがともに3の倍数となり、互いに素という仮定に矛盾します。
質問の証明は途中までは正しいですが、「3r＝√3qを満たす組み合わせはない」という部分の論証が不足しているため、qも3の倍数になることを示して矛盾を完成させるのが一般的で正しい証明方法です。
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