2倍角の公式からsin²θ=(1-cos2θ)/2を導く方法｜三角関数の基本変形をわかりやすく解説

三角関数の2倍角の公式は、数学Iで頻繁に登場する重要な公式です。特にsin²θやcos²θを含む式を変形する際には、2倍角の公式を利用して整理することがよくあります。この記事では、sin²θ=(1-cos2θ)/2がどのように導かれるのかを、途中式を省略せずに解説します。

まずは2倍角の公式を確認する

2倍角の公式にはいくつかの表現があります。

sin²θを求めたい場合は、sin²θが含まれている②の式を利用するのが最も簡単です。

公式②から始めます。

cos2θ=1-2sin²θ

まず両辺から1を引きます。

cos2θ-1=-2sin²θ

次に両辺に-1を掛けます。

1-cos2θ=2sin²θ

最後に両辺を2で割ります。

sin²θ=(1-cos2θ)/2

これで求める式が完成します。

sin²θやcos²θを含む式は、そのままでは計算しにくい場合があります。

例えば三角関数の積分や、三角方程式の整理では、sin²θをcos2θを使った形に変換することで計算が大幅に簡単になります。

sin²θ=(1-cos2θ)/2 は「半角公式」と呼ばれることもあり、入試でも頻出です。

同じ考え方で公式③を変形すると、cos²θの公式も導けます。

cos2θ=2cos²θ-1

両辺に1を足すと

1+cos2θ=2cos²θ

さらに2で割ると

cos²θ=(1+cos2θ)/2

sin²θとcos²θの公式はセットで覚えておくと便利です。

覚え方に迷う場合は、次のように整理すると覚えやすくなります。

「sinはマイナス、cosはプラス」と覚える受験生も多くいます。

sin²θ=(1-cos2θ)/2は、2倍角の公式であるcos2θ=1-2sin²θを変形することで導けます。手順は「両辺から1を引く→符号を反転する→2で割る」の3段階です。三角関数の計算では非常によく使う公式なので、導出方法とあわせて覚えておくと応用問題にも対応しやすくなります。